微积分PowerPoint 演示文稿 (8)

第八节函数的连续性与连续函数的运算在讨论函数极限中,我们看到函数在某一点是否存在极限与函数在该点是否有定义无关;与该点的函数值无关.但很多情况下,函数在一点的极限值与函数在这一点的函数值是密切相关的.本节将讨论具有这种特性的函数——连续函数.一、函数的连续性本节要点二、函数的间断点三、连续函数的运算一、函数的连续性1.函数在一点的连续性自然界中的很多现象都是连续变化的.例如气温的变很小时,温度的变化也很小.这就是()()TttTt化就是一个很明显的例子.所谓的连续变化指的是:当时间变化很小时,气温的变化也很小.具体地说,若以()Tttt表示时刻时的温度,当时间变化很小时,即连续函数的本质特征.定义设函数在点的某一邻域内有定义,()yfx0x0lim()xxfx若存在,且等于即0(),fx00lim()(),xxfxfx则称函数在点是连续的,此时又称点是函数()fx0x0x的连续点.()yfx分析:由极限的定义,对任意给定的正数总存在正,数对于适合不等式,0xx的一切所对应的函数值都有,x()fx0()().fxfx函数在点连续的几何意义:记()fx0x0,xxx0()()yfxfx即则连续性0,xx0,x00.xy0,xxx则00()(),fxxfx的含义为xyyfxxyO2.单侧连续函数00lim()(),xxfxfx若函数在点处的单侧极限存在且等于该点的0x()fx则称函数在点是左连续的;0x00lim()(),xxfxfx则称函数在点是右连续的.0x0()fx函数值,则称函数在该点是单侧连续的.即若相仿,若例1设函数10(),10xxfxxx是左连续而非右连续的.的图形如图所示.()fx定理:函数在点处连续的()fx0x()fxxyO0x则函数在处()fx充分必要条件是函数在该点既是左连续又是右连续.3.区间上的连续函数在区间上每一点都连续的函数称为区间上的连续函称是区间上的连续函数.记为()fx,ab,.fCab数.当点是区间的端点时,相应的连续为单侧连续.即()fx()fx,ab,ab若是区间上的函数,在上连续,且()fxxaxb在处是右连续、在处是左连续的.则例2证明sin,yxx证设是区间内的任意一点,给以增量x,x,xsinsin2sincos,22xxyxxxx因,故cos1x2sincos2sin2,2222xxxxyxx故当有0,x0,y是连续函数.相应函数的增量为由此证明了函数在区间上的连续性.sinyx,()fx注若是区间上的连续函数,则记为().fCII().CIff为上的连续函数I即:二、函数的间断点()fx设函数在的某去心邻域中有定义,若不是0x0x的连续点,则称是的间断点.()fx0x()fx间断点的类型:⑵在处有定义,但不存在;()fx0x0lim()xxfx00lim()().xxfxfx0x()fx⑴在处无定义;0lim()xxfx0x()fx⑶在处有定义且存在,但例3设函数e1(),xfxxe10,()10,xxfxxx则函数在连续.()fx0x0x则函数在处不连续,但若重新定义连续,211,()121,xxfxxx例4设函数211,1()11,2xxxfxx则函数在处不1x则函数在处连续.()fx1x但若重新定义在例3和例4中可以看到,这两个函数的共同特征为:函数在该点的极限存在,但函数在该点不连续.我们把这一类间断点称为可去间断点.以通过补充这一点的定义或则修改这一点函数的定义值,使其成为连续函数.其具体意义是:我们可例5设函数210,()10,xxfxxx则当时,有0x200lim()lim11,xxfxx00lim()lim11,xxfxx即:函数在处的左右极限0xxyo1121x1x存在但不相等.从图形中可以看到,这类函数的几何图形在间断点上有一个跳跃现象,因而把这一类间断点称为跳跃间断点.从图中可以看出,这类函数是不可能通过修改一点的函数值使其成为连续函数.1()sinfxx例6函数当时极限不存在,从图0x当时,函数值在与之间无0x111()sinfxx限次地变动.形中可以看到,可去间断点与跳跃间断点的特征是,函数在这一点的一般地说,若当时,函数值无限次地在0xx()fx()fx0x两个不同的数之间变动,则把点称为函数的振荡间断点.左右极限均存在.通常把这一类间断点称为第一类间断点,除此之外的间断点称为第二类间断点.例7讨论函数211,()011,1xxfxxxx的连续性.解显然，在集合上,函数,11,11,11lim()lim0(1),xxfxf()fx是连续的;又因11lim()0,lim()1,xxfxfx即函数在处是连续的;又1x故为函数的跳跃间断点.()fx1x三、连续函数的运算1.连续函数的和、积、商的连续性由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则,可得:定理1设函数在点处连续,则(),()fxgx0x,fxgx⑵函数⑶函数都在点处连续.0()0fxgxgx0x,fxgx⑴函数例8设函数在点处连续,则函数(),()fxgx0x()max{(),()},xfxgx在点处连续.0x证因()max{(),()}xfxgx1()()()(),2fxgxfxgx()min{(),()}xfxgx1()()()(),2fxgxfxgx()min{(),()},xfxgx再注意到：若在点处连续，则在点处连()fx0x()fx0x,xx续,由此得到函数的连续性.2.复合函数的连续性定理2若函数在点处连续,函数()yfu0uu由复合函数的极限运算法则及连续函数的定义,不难()uux0xx()yfux在点处连续,则复合函数0x在点处连续.得到该定理的证明.3.反函数的连续性定理3设定义在区间上的函数在该区间上xI()yfx单调增加（减少）且连续,则它的反函数存1()xfy在并且在对应的区间1()xfy{(),}yxIyyfxxI上单调增加（减少）且连续.4.初等函数的连续性由前面的讨论,我们得到定理一切初等函数在定义域内都是连续的.此定理的重要价值是:利用函数的连续性反过来可以求出复杂函数的极限.解因函数ln1cosx例9求极限0limln1cos.xx0limln1cosln2.xx为初等函数,的定义域中,所以2x又在函数的