微积分习题一答案详解

1.单项选择题.(1)函数的定义域是(A))1arcsin()(xxfA.[0,2]B.[-5,5]C.[-1,1]D.[0,+]111x得答案选A.20x(2)和不表示同一个函数的是(B))(xf)(xgA.xxf)(与2)(xxgB.xxf)(与000)(xxxxgC.xxxf11)(与22)1(1)(xxxgD.3)(xxxf与34)(xxgB中00)(xxxxxf与不相同,所以选B.)(xg习题一A组(3)设函数,,则())]([xgfA.B.C.D.xx2xx3x23代入得得答案为D.xxg3)(2)3()]([xxgfxxg3)(23x2)(xxf(4)函数的反函数是())0(12xxyA.12xyB.12xyC.12xyD.12xy解:可以从,得出,)0(12xxy12yx可以得出.可以得出答案为B.12xy2.填空题.(1)设集合,则=},4,3,2,1{A},5,3,1{BBA}5,4,3,2,1{BA.}3,1{(2)设集合为函数的定义域,为函数1D112xxy2D1xy的定义域,则集合的关系为.1D与2D1D2D(3)设}034{2xxxA,}02{xxB,则=BA]1,((4)若,则.13)(xxf)1(xfx34(5))(xf为定义在R上的偶函数,且在内为减函数,),0(则从小到大用不等号连结为),5.1(f),2(f),2(f.)2()5.1()2(fff3.求下列不等式。92x(1)(2)7|4|x(3)4)2(02x||0xax(4)22220)2(4)2(22xxxx)4,2()2,0(240xxx得3392xx7|4|x(2)113747xx(3)(1)解:(4)0xax(，，为常数）0a00x0原式0xax000axaxxaxxax00),(00axaxx解4.求下列函数的定义域.(1)(2)211xy(3))1lg(12xxy(4)xxy1129xy解:(1),092x33x(2)012x11,x)1,0()0,2[0120)1lg(0102xxxxxxx(3)(4)011xx,011xx11x)(xf)(xg5.在下列各题中，和是否表示同一函数？为什么？xxgxxflg2)(,lg)(2(1)(2)xxgxxf2cos1)(,sin)((3)xxxgxf)(,1)(解:(1)不是同一函数,因为定义域不同,函数两要素:定义域和对应法则,两者完全相同才是同一函数.)(xf的定义域为)(xg0x,的定义域为0x.(2)不是同一函数,xxxgsincos1)(2两个函数的函数关系不同..中(3).不是同一函数,定义域不同,)(xf的定义域为Rx,)(xg的定义域为0x这两个函数6.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是非奇非偶函数。3xy(1)(2)222xxy)1(224xxy(3)(4)xxysin(5)xxycos(6))1)(1(xxxy解：讨论函数的奇偶性必须先判断函数的定义域是否对称，如果不对称，一定不是奇函数或者偶函数。如果对称的话，我们继续判断它的奇偶性。(1).0x,定义域对称。设3)(xxf，)()(3xfxxf所以为奇函数。（2）0x,定义域对称。设，)(222)(xfxfxx222)(xxxf所以为偶函数。（3）Rx，定义域对称。)()1(2]1)[()(2)(2424xfxxxxxf)1(2)(24xxxf为偶函数。（4）定义域为Rx，则)()sin(sin)sin()(xfxxxxxxxfxxxfsin)(（5）定义域为Rx，，则)(cos)cos()()(xfxxxxxfxxxfcos)(为奇函数。为奇函数。（6）定义域为Rx，，则)()1)(1()1)(1()(xfxxxxxxxf)1)(1()(xxxxf函数为奇函数。7.确定下列函数的定义域并作出函数图形。010001)(xxxxf(1)Rx解:xy01-1421202)(xxxxxf(2))4,0[xxy01234-11232||111||1)(2xxxxxf(3)xy0-111-1-22)2,2(xxyx某商店销售一种商品，当销售量为a元；若超过30件时,与销售量之间的关系.8.其超过部分按原价的90%计算。试给出销售价不超过30件时，单价解:30)30(9.030300xxaaxaxy3030039.0xxaaxaxy12xyxy)21(xyalog241xy9.判断下列函数的单调增减性。(2)(3)(4)(1)解:(1)在定义域上单调递增.(2)在定义域上单调递减.(3)10a时在定义域上单调递减,1a时单调递增.(4)在)0,(上单调递增,在[0,+)单调递减.10.求下列函数的反函数并指出其定义域。23xy(1))2lg(1xy(2)(3)xey211xxy(4)解:(1)3223yxxy交换x和y得反函数:32xy(2)210)2lg(11yxxyx交换x和y得反函数:2101xyRxRx)2ln(2yxeyx(3)交换x和y得反函数:)2ln(xy(4)1111yyxxxy交换x和y得反函数:11xxy)2,(x1x11.下列函数能否构成复合函数？若能构成复合函数，则写出,并求其定义域。)]([xufy13,xuuy(1)21,lgxuuy(2)3,xuuy21,xuuy(3)(4)解:(1)能,1313,xyxuuy代入得把定义域为),31[x(2)能,)1lg(lg122xyuyxu得代入把定义域为)1,1(x(3)能,把33xyuyxu得代入定义域为0x(4)不能.因为把代入后函数定义域为21xu空集.12.下列函数可以看成是哪些函数复合而成的.(1)(2)(3)(4)13xy3)ln1(xy解)12(cos2xy2xeey(1)是由,两个简单函数复合而成的;为中间变量.13xyuyu13xu(2)是由,两个简单函数复合而成的;为中间变量.3)ln1(xy3uyxuln1u(3)是由,,三个简单函数复合而成的;,为中间变量.)12(cos2xy2uy12xwwucosuw(4)是由,,三个简单函数复合而成的;,为中间变量.2xeeyueyveu2xvuvax13.一块正方形纸板的边长为，将其四角各截去一个大的小正方形，再将四边折起做成一个表示为所截小正方形小相同的边长为无盖方盒，试将此无盖方盒的容积V边长的函数。解:xaxxaV2)2(xa2x14.某玩具厂生产玩具的固定本为b元，每生产一个玩具，p元，试求收益函数，利润函数。本函数；若总成本增加a元。试求总成本函数和平均成每个玩具售价为解:设生产的玩具数量为q,则成本函数和平均成本函数aqbqC)(分被别为:qbaqaqbqC)(收益函数和利润函数:bqapaqbpqqL)()()(pqqR)(10515.0)(qqCq3.0p11012.0)(qqC15.设某厂生产某种商品的总成本函数为，其中表示产量，若以单价为元出售，试求保本点；，试问这对生产者是否有利？种方式生产这种商品，其总成本函数为如果以另一解:保本点为)()(qCqR10515.03.0qq即得700q16710515.011012.0qqq换为另一种方式有利.166010515.011012.0qqq换另一种方式不利.16.已知某种商品的供应函数和需求函数分别为,其中以件计算,以元/件计算.试画出它们的图象,并求其市场价格.5.08.0pQs5.14.0pQdQp解0dsQQ5.08.0pQs5.14.0pQd650pyx0.51.53.75qp218qp17.已知某商品的价格函数为，其中是销售量，是价格，平均成本为6元。试求：（1）收益函数（2）成本函数；（3）利润函数。；解:2218)218()(qqqqqRqqC6)(222126218)()()(qqqqqCqRqL(1)(2)(3)18.某玩具厂每天生产60个玩具的成本为300元，每天生产80个求其线性成本函数，并求每天的固定玩具的成本为340元。成本和生产一个玩具的可变成本。解:设线性成本函数为bqay,a固定成本,b为可变成本据题意得:baba80340603002180ba每天的固定成本为180元,生产一个玩具的可变成本为2元.19.某厂生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元。如果该商品年销售率是均匀的，试建立总费用与批次的关系。解:设批次为x,总费用为y,据题意得：xxy100005.0100000021得：xxy100025000Q104)(2QQQCCP)28(51PQLQ20.某厂每批生产吨某商品的成本为(万元)，每吨售价万元；且需求函数。试将每批产品销售后获得的利润万元表示为产量吨的函数。解：)28(51PPPQR)104()28(512QQPPCRL10246104)528(22QQQQQQL102462QQL21。某商店半年销售400件小器皿，均匀销售，为节约存费，分批进货。每批订货费用（订合同手续费、旅差费运货费等）为60元，每件器皿的储存费为每月0.2元，试列出储存费和进货费之和与批量之间的x函数关系。解：设批量为x,储存费为2.121x，进货次数为总费用为y.得：xxxxy240006.0604006.0存储费的计算一定要注意,这个是半年的费用,0.2X6=1.2yuanx400B组AB1.某专业共有100名学生，其中70名数学考试成绩优秀，用集合表示这些学生；40名外语考试成绩优秀；用集合(1)两门考试成绩都是优秀的学生；(2)数学考试成绩不是优秀而外语考试成绩是优秀的学生；(3)两门考试成绩中至少有一门成绩达到优秀的学生；(4)两门考试成绩均不是优秀的学生。表示这些学生；数学考试成绩优秀而外语考试成绩不是优秀的学生有55人。试用集合关系表示下列各类学生，并计算出各类学生的数目：解：40;70BA；55BA（1）两门考试都优秀的学生为70-55=15（2）251540ABB（3）95154070BABABA（4）595100100BA2.求下列函数的定义域。1||xy(1)(2))lg1lg(xy(3)712arcsin62xxxy解:(1)根号里面的数大于001x1x11xx或者(2)对数里面的数大于0;得:0lg10xx100100xxx712arcsin62xxxy(3)根号里面的数大于0,反函数里面的数在]1