微积分基础(国家开放大学)---第1章---第1节---函数的概念

1第1章函数、极限、连续§1.1函数的概念§1.1.1常量与变量§1.1.2函数的定义§1.1.3函数的特殊性质§1.1.4基本初等函数§1.1.5复合函数与初等函数2§1.1.1常量与变量微积分是研究函数变化规律的学科，故我们先关注一下研究过程中的常量与变量。常量:在研究过程中始终保持不变的量变量:在研究过程中发生变化即可以取不同的量例如:密闭容器内的气体加热,气体的体积和气体的分子个数保持一定,是常量;气体的温度和压力是变量.常量与变量是相对而言的，并非确定不变的。所谓函数关系是指几个变量之间的某种确定的特殊联系方式。3常用区间表示方法：全体实数的集合记为R，全体自然数的集合记为N。其它常见的实数集合表示方法如下：闭区间：[a,b]={x|axb}开区间：(a,b)={x|axb}半开区间：(a,b]={x|axb},[a,b)={x|axb}注：以上a,b均满足a、bR,且ab,此时，这类区间称为有限区间;又当a、b中有一个为时,称无穷区间;显然R=(-,+)。a的邻域U(x0,)：U(x0,)=(x0-,x0+)，即|x-a|。a的去心邻域U0(x0,)：U0(x0,)=(x0-,x0+)\{x0}4区间、邻域示意图oxaboxaboxaoxbxaaaaaax闭区间[a,b]开区间(a,b)无穷区间(a,+)无穷区间(-,b)邻域去心邻域5§1.1.2函数的定义◎一.函数概念及其表示◎二.分段函数◎三.定义域的求法6函数关系引例引例1圆面积2rA引例2自由落体运动221gtS引例3气温T与时间t的关系OTt1200,TtP引例4销售量q的关系与月份t月份t销售量q1100210531104115511161207函数的概念定义设x和y是两个变量,D是一个给定的非空实数集，若对于每个数xD,变量y按照一定对应法则f,总有唯一确定的数值和它对应，则称y为x的一元函数，记作y=f(x)。称x为自变量，y为因变量，称D是函数f的定义域，因变量y的取值范围称为函数的值域。当x0D，称f(x0)为函数在x0处的函数值。由于通常是通过函数值f(x)的变化来研究函数f的性质的，故习惯上也称f(x)或y是x的函数。8函数的两要素(())0x)(0xf因变量对应法则f定义域与对应法则.xyDZ自变量判定下面各组中两函数是否相同？2lgxxfxxglg2不相同334xxxf31fxxx相同221cossinyxu相同9函数的表示法常用的函数表示法主要有三种：公式法(引例1、2)，图示法(引例3)，表格法(引例4)。各种表示法各有其特点：图示法使函数的变化表现得较直观，表格法(如各种函数表、经济统计报表)便于求函数值，而公式法便于运算和分析，故在学习研究数学理论上用得最多。它们各有优缺点，应根据需要结合使用。10分段函数分段函数：用公式表示函数时，有时需要在定义域得不同范围内分别用不同的解析式来表示该函数完整的对应规则。注意：分段函数是一个函数,而不是几个函数！例：11102xxxxxfxyO1211分段函数应用1、个人收入所得税2、出租车计费12定义域求法约定：如未特别指明,函数定义域Df即为能使函数表达式有意义的自变量一切可取(实数)值范围。解要使2412xxy有意义，必须有02042xx222xx22x即例1：的定义域．2412xxy求函数{|22}fDxx故例2:的定义域Df．251xyx求函数解：要使上式有意义，须使：x5且x-1。故：Df=(-,-1)(-1,5]13跟踪训练求下列函数的定义域.(1)y＝－12x2＋1；解x∈R；(2)y＝x－2x2－4；解要使函数有意义，必须使x2－4≠0，得原函数的定义域为{x|x∈R且x≠±2}；14(3)y＝1x＋|x|；解要使函数有意义，必须使x＋|x|≠0，得原函数的定义域为{x|x0}；(4)y＝x－1＋4－x＋2；解要使函数有意义，必须使x－1≥0，4－x≥0，得原函数的定义域为{x|1≤x≤4}；15(5)y＝4－x2＋1|x|－3；解要使函数有意义，必须使4－x2≥0，|x|－3≠0，得原函数的定义域为{x|－2≤x≤2}；16(6)y＝ax－3(a为常数).解要使函数有意义，必须使ax－3≥0，得当a0时，原函数的定义域为{x|x≥3a}；当a0时，原函数的定义域为x|x≤3a；当a＝0时，ax－3≥0的解集为∅，不符合函数的定义，故不是函数.课后思考题17分段函数求定义域示例例3101(),(0)(2)().212xfxfffxx设求、，函数的定义域解f(x)的定义域为：[0,2]18几个特殊函数：符号函数010001sgnxxxxy当当当1-1xyoxxxsgn19几个特殊函数：取整函数取整函数y=[x][x]表示不超过x的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线20几个特殊函数：狄利克雷函数是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo21几个特殊函数：取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg22§1.1.3函数的特殊性质一.单调性二.奇偶性三.有界性四.周期性通过本节课的学习，了解函数的基本特性23函数的单调性当21xx时,21xfxf单调减少xyOabxfyxyOabxfy当21xx时,21xfxf单调增加设函数f(x)的定义域为D，如果对于区间I(ID)内的任意两点x1、x2,当x1x2时,（1）恒有f(x1)f(x2)，则称函数y=f(x)在区间I上为递增函数（2）恒有f(x1)f(x2)，则称函数y=f(x)在区间I上为递减函数（3）恒有f(x1)≤f(x2)，则称函数y=f(x)在区间I上为不减函数（4）恒有f(x1)≥f(x2)，则称函数y=f(x)在区间I上为不增函数递增函数、递减函数分别称为严格单调增加函数和严格单调减少函数，不减函数和不增函数分别称为单调增加函数和单调减少函数。有时，为叙述简单起见，对于严格单调增加（减少）函数也称为单调增加（减少）函数。24当堂测·查疑缺1231.已知函数f(x)＝－x2，则()A.f(x)在(－∞，0)上是减函数B.f(x)是减函数C.f(x)是增函数D.f(x)在(－∞，0)上是增函数D252.函数y＝的减区间是()A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0)，(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)解析函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，但是其在定义域上不单调，它有两个单调减区间，应该写为(－∞，0)，(0，＋∞).6x6xC123263.下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)的是()A.f(x)＝x2B.f(x)＝C.f(x)＝|x|D.f(x)＝2x＋11x解析f(x)＝1x在(0，＋∞)上为减函数，符合题意.B12327函数的奇偶性设定义域D关于原点对称，若xD,有f(-x)=f(x)成立,则称f(x)在D上为偶函数;若xD,有f(-x)=-f(x)成立,则称f(x)在D上为奇函数.偶函数(关于y轴对称)yx)(xf)(xfyox-x)(xf奇函数(关于原点对称))(xfyx)(xfox-x)(xfy28函数奇偶性示例如:(1))1(1xxxxf奇函数)1(1xxxxfxf)1(1xxx11xxaaxxf(2)11xxaaxxfxxaax11xf偶函数(3)0xf既是偶函数又是奇函数(4)1cossinxxxf既非偶函数又非奇函数29函数奇偶性的应用例如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小.解∵f(－3)f(－1)，又f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1).∴f(3)f(1).30反思与感悟本题有两种解法，一种是通过图象观察，f(－3)f(－1)，选用偶函数定义，得f(3)f(1)；另一种方法是利用偶函数图象的对称性.31跟踪训练如图，给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－4)＝________.解析f(－4)＝－f(4)＝－2.－232函数的有界性设函数f(x)在D上有定义.如果存在一正数M,使不等式|f(x)|M对任一xD都成立,则称f(x)在D上有界;如果这样的M不存在，则称f(x)在D上无界。M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0xsincos?yxyx函数与是否是有界函数33函数的周期性设函数f(x)的定义域为D,若存在常数T0,使得对每一个xD,有x+TD,且总有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)是D上的周期函数，满足上式的最小正数T（如果存在）称为函数f(x)的周期。注意：通常说周期函数的周期是常指其最小正周期.sincos?yxyx函数与的周期2l2l23l23ltancot?yxyx函数与的周期34§1.1.4基本初等函数常数函数：y=C(C是常数)幂函数：y=x(是常数)指数函数：y=ax(a是常数且a0,a1)特别:y=ex对数函数：y=logax(a是常数且a0,a1)特别:y=lnx三角函数：y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=secxy=cscx反三角函数：y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotxy=arcsecxy=arccscx以上六类16种函数称为基本初等函数。思考(那些是基本初等函数?)：y=sin3x,y=3x,u=lnv,y=2x,s=5,y=1/x35幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy36指数函数)1,0(aaayxxayxay)()1(a)1,0(2.71828,xyee常见指数函数（，是一个无理数）37对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxyalog)1(a)0,1(38正弦函数xysinxysin39余弦函数xycosxycos40正切函数xytanxytan41余切函数xycotxycot42正割函数1,secseosccxxyx（）xysec43余割函数1,(cs)csccsinxxxyxycsc44§1.5复合函数和初等函数一.复合函数复合函数本身就是普通的函数,在这里加上前缀修饰词“复合”，是强调它们与其它一些函数的关系。45复合函数定义:若函数y=f(u)的定义域为U,而函数u=g(x)的定义域为X,且u=g(x)的值域包含在U中，则对X中的每一个x，通过u都有唯一的y与之对应，即y是x的函数,记为：y=f[g(x)]。这种函数称为复合函数，其中u称中间变量。注意：不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的；复合函数也可由两个以上的函数经过复合构成(可以理解为函数间的一种运算)。,arcsinuy例如;22xu)2arcsin(2xy,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv难点：熟练分解复合函数46二.初等函数初等函数是微积分研究的主要对象之一，我们必须对它们有较清楚的认识。究竟那些函数是初等函数？它们有那些性质？47初等函数与简单函数初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数.简单函数