微积分教案6-5

1§6.5广义积分初步•一、无穷限积分•二、瑕积分•三、Г函数在本节中我们将推广定积分定义,以便解决一些诸如“开放型平面图形面积”等问题。xOyxeyx=b+xOy21211241xyx=2-0+2无穷限积分•定义：设函数f(x)在区间[a,+)上连续,对任意实数b(其中ba)称babdxxflim为函数f(x)在区间[a,+)上的广义积分,记作,adxxfadxxfbabdxxflim(1)若(1)中极限存在,则称广义积分adxxf若(1)中极限不存在,则称广义积分adxxf即收敛。发散。dxxfadxxfadxxf类似地，bdxxfbaadxxflim3例题与讲解•例：计算广义积分0dxex解0dxexbxbdxe0lim11limlim0bbbxbeexOyxeyxFFxlimxFFxlim则广义积分的计算可简记为：adxxfaFFxFabdxxfFbFxFb如果F(x)为连续函数f(x)的一个原函数，记4例题与讲解•例：计算广义积分.12xdx解21xdx021xdx021xdx0211limaadxxbbdxx0211lim0arctanlimaaxbbx0arctanlimaaarctanlimbbarctanlim.225例题与讲解*•例：计算广义积分解.)0,(0ppdttept且是常数0dttept0][dttept0]1[pttdep0]1[dtepeptptpt020]1[][ptptepept)10(10lim12ptepptt.12p6例题与讲解•例：证明广义积分,11dxxp1p11dxx1lnx0lnlimxx1p11dxxp1111111ppppxp;11p在p1时，收敛；p≤1时，发散。证时，时，因此，该广义积分当p1时收敛，其值为当p≤1时发散。7例题与讲解•例：证明广义积分dxxx21发散。证因021dxxx022121121xdx021x,11lim2xxdxxx21发散。故.012dxxx21xx注意：虽然为奇函数，但8无界函数的广义积分(瑕积分)•定义：设f(x)在区间(a,b]上连续,而,limxfaxbadxxf0lim.badxxf称为f(x)在区间(a,b]上的广义积分,记作即babadxxfdxxf)(lim0)2(若式(2)中极限不存在,称广义积分badxxf若式(2)中极限存在,则称广义积分badxxf收敛；发散。)lim(lim0xfdxxfdxxfbxbaba类似地:)lim(xfdxxfdxxfdxxfbcacxbccaba3当(3)右边的两积分都收敛时,才称广义积分badxxf收敛；否则称发散。9例题与讲解•例:计算广义积分.41202dxx20241dxx解0202arcsinx.202arcsinlim02xxxOy21211241xy10例题与讲解•例：证明广义积分dxx1021发散。证dxx10211001limx1lim10即证明广义积分dxx1021发散,例：dxx1121dxx1121111x2dxx1121dxx0121dxx1021因为dxx1021所以,dxx1121发散。发散。11函数——一个重要的广义积分•定义：广义积分)0()(01tdxextxt是参变量t的函数，称为函数。•函数的重要性质：(t+1)=t(t)特别,(n+1)=n！•证明：0)1(dxextxt0xtdex00|txxtdxeex010dxxettx)(tt1][)1(00xxedxe又!)1(123)1()1(nnnn12函数表•[1,2]区间上的函数值可通过函数表查表得到,而对于t0的其它函数值均可由下面递推公式转化到[1,2]区间内：Nnssntsssttstssststt],2,1[,2),()1()2)(1(]2,1[),()2,1(,110),(1)(•例：)25(212105.1042dueudxexux66465.0)5.1(43)23(232113小结•无穷限的广义积分无界函数的广义积分（瑕积分）dxxf)(bdxxf)(adxxf)(cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意：不能忽略内部的瑕点）badxxf)(函数及其重要性质(t+1)=t(t)14练习1.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；dxxxdxx124221)2(;1)1([解答]2.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；202121)2(;)1()1(xxdxxdx[解答]3.当k为何值时,广义积分2)(lnkxxdx收敛,k为何值时广义积分发散,k为何值时广义积分取最小值？[解答]15练习解答1.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；dxxxdxx124221)2(;1)1(解dxxbb141lim)1(式bbx13|31lim)11(31lim3bb.31dxx1)1(1)2(2式|)1arctan(x)2(2.[返回习题]16练习解答2.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；202;)1()1(xdx212102)1()1()1(xdxxdx式解1020102)1(lim)1(xdxxdx因为100|11limx)11(lim0发散反常积分故202)1(xdx[返回习题]17练习解答2.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；211)2(xxdx解dxxx21111)2(式2121111dxxdxx212123|12|)1(32xx.38232[返回习题]18练习解答3.当k为何值时,广义积分2)(lnkxxdx收敛,k为何值时广义积分发散,k为何值时广义积分取最小值？解2)(lnkxxdx2)(ln)(lnkxxd1,))(ln1(11,|)ln(ln212kkkkxk1,)2)(ln1(11,1kkkk时广义积分收敛于当广义积分发散时当故1;,1,kk.)2)(ln1(11kk19续上页,)2)(ln1(1)(1kkkf设又]2lnln)2)(ln1()2[(ln)2(ln)1(1)(1112kkkkkkf]2lnln)1(1[2ln)1(12kk,0)(kf令2lnln11k得;0)(,2lnln11kfk时当而;0)(,2lnln11kfk时当.)(,2lnln11取得最小值时当故kfk[返回习题]则