微积分的基本公式

——一元微积分学高等数学（文）微积分的基本公式第六章定积分第二节微积分的基本公式一.积分上限函数二.微积分基本公式一.积分上限函数(变上限的定积分),,,)(就有值每给定一对而言对可积函数baxf.d)(I与之对应确定的定积分值baxxf与它的上下限的定积分这意味着d)()(baxxfxf.之间存在一种函数关系,,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变:分上限函数.],[d)(d)()(baxttfxxfxFxaxaOxyabxx)(xfy积分上限函数的几何意义Oxyabxx)(xfy积分上限函数的几何意义xaxxfd)(曲边梯形的面积的代数和随x的位置而变化。,d)(d)(有由积分的性质：abbaxxfxxf,d)(d)(xbbxttfttf所以，我们只需讨论积分上限函数..d)(称为积分下限函数bxttf定理1证.]),([d)()(]),,([)(baCttfxFbaRxfxa则若,],[,],[则且baxxbax)()()(xFxxFxFxxxxaxxattfttfttfd)(d)(d)(.|)(|],[)(]),,([)(MxfbaxfbaRxf上有界：在故又xMttfttfxFxxxxxxd|)(||d)(||)(|0于是.]),([)(,baCxFx即可得的任意性由夹逼定理及点.],[:1积分上限函数是连续的上的定义在区间说明定理ba?积分上限函数是否可导,d)()()(xxxttfxFxxF由,]),,([)(得则由积分中值定理如果baCxf,)(d)()()(xfttfxFxxFxxx)(之间与在xxxxxfxxFxxFxx)(lim)()(lim00故)()(lim0xffx这说明了什么？条件定理2],[d)()(]),,([)(battfxFbaCxfxa在则若,且上可导.)()(d)(dd)(bxaxfttfxxFxa定理3,],[]),,([)(0处连续且在点若baxbaRxf.)()(,d)()(000xfxFxttfxFxa且处可导在点则(在端点处是指的左右导数)例1)dcos(xattdcosddxattx.cosx?)dcos(xaxx定积分与积分变量的记号无关.)(xF.cos)dcos(xxxxa例2.)(,d)1sin()(202xFttxFx求设解,)()(,d)1sin()(,2022xgxFttugxuu则令xuugxFdd)()(故)()d)1sin((202xttu.)1sin(22)1sin(42xxxu这是复合函数求导,你能由此写出它的一般形式吗?,一般地,)(,)(则可导若Cxfx.)())(()d)(()()(xxfttfxFxa例3解.dlim21cos02xtextx计算2cos1021cos0dlimdlim22xtextextxxtxxxexx2)sin(lim2cos0.21e罗必达法则)())(()d)(()(xxfttfxa下面再看定理2.)()(d)()(你会想到什么？及由xfxFttfxFxa定理2],[d)()(]),,([)(battfxFbaCxfxa在则若,且上可导.)()(d)(dd)(bxaxfttfxxFxa定理],[,d)()(]),,([)(baxttfxFbaCxfxa则若.],[)(上的一个原函数在为baxf.I)(,)I()(上原函数存在在则若xfCxf推论1推论2.域内原函数存在基本初等函数在其定义推论3.区间内原函数存在初等函数在其有定义的上在为则如果],[)(d)(]),,([)(baxfttfbaCxfxa.的一个原函数,)()(则有的原函数为若已知xfxF.)(d)(0CxFttfxa.)(,)(d)(0,00aFCCaFttfaxaa故则令,则得到取bx.)()(d)(d)(aFbFxxfttfbaba2.微积分基本公式基本公式定理)(莱布尼茨公式—牛顿],[)()(]),,([)(上的在为若baxfxFbaCxf,则一个原函数).()()(d)(aFbFxFxxfbaba.函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式—牛顿定积分的计算问题转化为已知函数的导函数,求原来函数的问题.例5,cos)(sinxx.10sin2sinsindcos2020xxx问题的关键是如何求一个函数的原函数.例6.2)1arctan(1arctanarctand1111112xxx.21)0sin42(sin212sin21d2cos4040xxx例7.d2cos10xx计算解020dcos2d2cos1xxxx0d|cos|2xx220d)cos(2dcos2xxxx.22sin2sin2220xx去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)莱布尼茨公式—牛顿).()()(d)(aFbFxFxxfbaba))(()()(abfaFbF拉格朗日中值定理函数的可微性d)()(xaxxfxF不定积分、定积分微积分基本公式d)())((baxfCxf积分中值定理