高数课件17换元积分法

营口地区成人高等教育QQ群54356621换元积分法直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法——换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。营口地区成人高等教育QQ群54356621问题xdx2cos,2sinCx解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令xt2,21dtdxxdx2cosdttcos21Ctsin21.2sin21Cx一、第一类换元法xCx2cos]2sin21[说明结果正确营口地区成人高等教育QQ群54356621将上例的解法一般化：设),()(ufuF则.)()(CuFduuf如果)(xu（可微）dxxxfxdF)()]([)]([CxFdxxxf)]([)()]([)(])([xuduuf将上述作法总结成定理，使之合法化，可得——换元法积分公式营口地区成人高等教育QQ群54356621设)(uf具有原函数，dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将dxxg)(化为.)()]([dxxxf观察重点不同，所得结论不同.)(xu可导，则有换元公式定理1营口地区成人高等教育QQ群54356621注①定理说明：若已知CuFduuf)()(则CxFdxxxf)]([)()]([因此该定理的意义就在于把CuFduuf)()(中的u换成另一个x的可微函数)(x后，式子仍成立——又称为积分的形式不变性这样一来，可使基本积分表中的积分公式的适用范围变得更加广泛。dx②由定理可见，虽然dxxxf)()]([是一整体记号，但可把视为自变量微分)()(xddxx——凑微分营口地区成人高等教育QQ群54356621③凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积表达式进行变形，主要考虑如何变化dxxf)(凑微分法的基本思路：与基本积分公式相比较，将不同的部分——中间变量和积分变量——变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例1求.2sinxdx解（一）xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cx营口地区成人高等教育QQ群54356621解（二）xdx2sinxdxxcossin2)(sinsin2xxd;sin2Cx解（三）xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cx例2求.231dxx解,)23(23121231xxxdxx231dxxx)23(23121营口地区成人高等教育QQ群54356621duu121Culn21.)23ln(21Cxdxbaxf)(baxuduufa])([1一般地例3求.)ln21(1dxxx解dxxx)ln21(1)(lnln211xdx)ln21(ln21121xdxxuln21duu121Culn21.)ln21ln(21Cx营口地区成人高等教育QQ群54356621例4求.)1(3dxxx解dxxx3)1(dxxx3)1(11)1(])1(1)1(1[32xdxx221)1(2111CxCx.)1(21112Cxx营口地区成人高等教育QQ群54356621例5)0(122adxxa解dxaxadxxa222111)(112axdaxCaxarcsin例6求.122dxxa解dxxa221dxaxa222111axdaxa2111.arctan1Caxa营口地区成人高等教育QQ群54356621例7dxxa221解dxxa221dxxaxa))((1dxxaxaa]11[21Cxaxaa|]|ln||[ln21Cxaxaa||ln21注意：分子拆项是常用的技巧营口地区成人高等教育QQ群54356621例8求.25812dxxx解dxxx25812dxx9)4(12dxx13413122341341312xdx.34arctan31Cx营口地区成人高等教育QQ群54356621例9求.11dxex解dxex11dxeeexxx11dxeexx11dxeedxxx1)1(11xxededx.)1ln(Cexx营口地区成人高等教育QQ群54356621例10求.)11(12dxexxx解,1112xxxdxexxx12)11()1(1xxdexx.1Cexx营口地区成人高等教育QQ群54356621例11求.12321dxxx原式dxxxxxxx123212321232dxxdxx12413241)12(1281)32(3281xdxxdx.121213212133Cxx营口地区成人高等教育QQ群54356621例12求解.cos11dxxdxxcos11dxxxxcos1cos1cos1dxxx2cos1cos1dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx或dxxdxx2cos21cos112Cx2tan营口地区成人高等教育QQ群54356621例13求解.cossin52xdxxxdxx52cossin)(sincossin42xxdx)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.营口地区成人高等教育QQ群54356621例14求解.2cos3cosxdxx)],cos()[cos(21coscosBABABA),5cos(cos212cos3cosxxxxdxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx营口地区成人高等教育QQ群54356621例15求解（一）dxxsin1.cscxdxxdxcscdxxx2cos2sin2122cos2tan12xdxx2tan2tan1xdxCx2tanln.)cotln(cscCxx（使用了三角函数恒等变形）营口地区成人高等教育QQ群54356621解（二）dxxsin1xdxcscdxxx2sinsin)(coscos112xdxxucosduu211duuu111121Cuu11ln21.cos1cos1ln21Cxx解（三）xdxcscdxxxxxxcotcsc)cot(csccsc营口地区成人高等教育QQ群54356621dxxxxxxcotcsccotcsccsc2)cot(csccotcsc1xxdxxCxx)cotln(cscCxx)cotln(csc类似地可推出.)tanln(secsecCxxxdxdxxxdxcos1sec)2()2sin(1xdxCxx)]2cot()2ln[csc(Cxx)tanln(sec营口地区成人高等教育QQ群54356621解例16设求.,cos)(sin22xxf)(xf令xu2sin,1cos2ux,1)(uufduuuf1)(,212Cuu.21)(2Cxxxf营口地区成人高等教育QQ群54356621例17求解.2arcsin412dxxxdxxx2arcsin41222arcsin2112xdxx)2(arcsin2arcsin1xdx.2arcsinlnCx营口地区成人高等教育QQ群54356621例18dxxxxxcossinsincos解（一）分子分母同乘以xxsincosdxxxxxcossinsincosdxxx2cos2sin1)2(2cos2sin21)2(2sec21xdxxxxdCxxx]2cosln)2tan2[ln(sec21Cx)2sin1ln(21Cxx)sinln(cos营口地区成人高等教育QQ群54356621解（二）分子分母和差化积dxxxxxcossinsincosdxxxxxcos)2cos()2cos(cosdxxx)4cos()4sin(Cx|)4cos(|ln解（三）分子恰为分母的导数dxxxxxcossinsincosdxxxxxcossin)cos(sin营口地区成人高等教育QQ群54356621)cos(sincossin1xxdxxCxx)cosln(sindxxBxAxbxasincossincos)0(22BAdxxBxAxbxasincossincosdxxBxAxBxANxBxAMsincos)sincos()sincos(2222,BAbAaBNBAbBaAM营口地区成人高等教育QQ群54356621dxxBxAxbxasincossincosCxBxANMx)sincosln(第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。营口地区成人高等教育QQ群54356621问题?125dxxx解决方法改变中间变量的设置方法.过程令txsin,costdtdxdxxx251tdtttcossin1)(sin25tdtt25cossin（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法营口地区成人高等教育QQ群54356621其中)(x是)(tx的反函数.证设为的原函数,)(t)()]([ttf令)]([)(xxF则dxdtdtdxF)()()]([ttf,)(1t设)(tx是单调的、可导的函数，)()()]([)(xtdtttfdxxf则有换元公式并且0)(t，又设)()]([ttf具有原函数，定理2营口地区成人高等教育QQ群54356621第二类积分换元公式CxFdxxf)()(,)]([Cx)()()]([)(xtdtttfdxxf)]([tf).(xf说明)(xF为)(xf的原函数,营口地区成人高等教育QQ群54356621例19求解).0(122adxax令taxtantdtadx2secdxax221tdtata2secsec1tdtsecCtt)tanln(sectax22ax.ln2