1.7定积分的简单应用

人教课标A版数学选修2-21.7定积分的简单应用前面，我们运用分割→近似代替→求和→取极限的过程，求出了一些曲边梯形(由函数()yfx(()0fx≥)的图象和直线xa,xb,x轴围成的平面图形)的面积.并把它们浓缩成了一个结果:定积分(()bafxdx)复习微积分基本定理（牛顿－莱布尼茨公式）()d()()()bbaafxxFxFbFa我们知道定积分()bafxdx的几何意义：它是介于x轴、函数()fx的图象及两条直线,xaxb之间的各部分面积的代数和.(在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号)321SSSdxxfba)(1S2S3S1()baAfxdx221[()()]baAfxfxdx思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值:()yfxab图1.曲边梯形xyo)(1xfy)(2xfyab图2.如图xyo图4.如图)(1xfy)(2xfyab0xy图3.如图)(xfyab0yx3()baAfxdx421[()()]baAfxfxdx例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解：两曲线的交点(0,0)(1,1)OB120(-)Sxxdx或32130233()xx.31-OABDOABCSSS梯曲形曲梯形11200xdxxdx201yxxxyx及oxy2yx2yxABCD例题3211300233xx211333.例2计算由曲线2yx，直线4xy以及x轴所围成的图形的面积.解:两曲线的交点(0,0),(8,4).24yxyx直线与x轴交点为(4,0)2yx4yx880424()xdxxdxS1S248812044224[()]SSSxdxxdxxdx488044224()()xdxxdxxdx3828204221404323|()|xxx练习1（例2变式题）：计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积解:两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxyxy224xy12280222224()SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822022222124332|()|xxxx练习16642618333212xy4xy方法小结求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1.作图象(弄清相对位置关系);2.求交点的横坐标,定出积分上、下限;3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.Oab()vvttvit设物体运动的速度vv(t)(v(t)≥0)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的路程s为一、变速直线运动的路程dttvsba)(例1一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求汽车在这1min行驶的路程。v/m/st/s10406030OABC)06t(40901.5t-40)t(103010)t(03ttv解：由速度－时间曲线可知：10040106040)905.1(303dttdttdtS6040240101002)9043(3023tttt例题）（m1350二、变力沿直线所作的功1、恒力作功由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为sFW.2、变力所做的功Oab()yFxxFix问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=b点，则变力F(x)所做的功为:()baWFxdx例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置l米处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力Ｆ(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比即：F(x)=kx所以据变力作功公式有2200011()|()22LLLWFxdxkxdxkxklJ答:克服弹力所作功的功为21.2klJ例题巩固练习:1.一物体在力10(02)()34(2)xFxxx≤≤(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),则力F(x)所作的功为()J(A)44(B)46(C)48(D)50B424002()10(34)WFxdxdxxdx析：22402310|(4)|46()2xxxJ设物体运动的速度vv(t)(v(t)≥0)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的路程s为1、变速直线运动的路程2、变力沿直线所作的功物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=b点，则变力F(x)所做的功为:()baWFxdx小结dttvsba)(课堂练习：1.课本P59练习作业：1.课本P65A组