高考数学 解题方法攻略 三角函数2 理

高考中三角函数的解题策略与考试趋势摘要：近年来,三角函数试题在高考中所占的比例基本稳定在12%左右,并且大部分试题为基础题和中档题.以近5年各地区高考题为例，三角函数一般会作为一道客观题和一道主观题。本文主要总结三角函数的各种考查题型和解题思路以及它的考试趋势。关键词：三角函数，高考解题策略，考试趋势Abstract：Inrecentyears,theproportionofofTrigonometricquestionsintheCollegeentranceexaminationisbasicallystableataround12%,andmostofthequestionsarebasicquestionsandmid-rangequestion.Takethenearlyfiveyearsofthecollegeentranceexaminationquestionsaboutthevariousregionsforexample.Thetrigonometricfunctionsnormallybeusedasanobjectivequestionsandasubjectivequestion.Thisarticlesummarizedthemainkindsofquestionsaboutthetrigonometricandproblem-solvingideasanditsexaminationtrends.Keywords:Thetrigonometricfunctions,Theuniversityentranceexamproblem-solvingstrategies,examinationtrends1﹒引言三角函数是中学数学的主体内容，是高考的重点，也是高考的热点。其考点主要包括:同角三角关系式及诱导公式，三角函数的图象和性质，三角函数的化简求值，三角形中的三角函数，三角函数的最值及综合应用。一般设计为一道客观题，一道解答题，约占总分的12%，多数是中低档题。近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查、对基础知识和基本技能的考查上来。在考查三角公式进行恒等变形的同时也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度。2.高考中三角函数考察的题型2.1三角函数化简与求值关于三角函数的求值，一般是先运用它的公式化简再求值，公式包括二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，和差化积公式，积化和差公式，正弦定理和余弦定理等。例1△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A-C=90°，a+c=2b，求C．（2011年高考理科数学全国卷）解：由2acb及正弦定理可得sinsin2sin.ACB又由于90,180(),ACBAC故cossin2sin()CCAC2sin(902)C2cos2.C22cossincos2,22CCCcos(45)cos2.CC因为090C，所以245,CC15C例2在ABC△中，已知2AC，3BC，4cos5A．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin26B的值．解（Ⅰ）在ABC△中，2243sin1cos155AA，由正弦定理，得sinsinBCACAB．所以232sinsin355ACBABC．（Ⅱ）因为4cos5A，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是22221cos1sin155BB，22117cos22cos121525BBsin2sin2coscos2sin666BBB42131712522521271750．解析：本种类型题主要考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、等基础知识，考查基本运算能力。所以，在对于这种直接运算化简的题目，必须记住有关于三角函数的有关公式，主要有：二倍角公式：sin(2)2sincos;2222cos(2)cossin2cos112sin;2tan(2)2tan/(1tan);2cot(2)(cot1)(2cot);两角和与差的三角函数公式:cos()coscossinsin;cos()coscossinsin;sin()sincoscossin;tan()(tantan)/(1tantan);tan()(tantan)/(1tantan);和差化积公式：sinsin2sin+/2cos/2;sinsin2cos/2sin/2;coscos2cos/2cos/2;coscos2sin/2sin/2;积化和差公式：1sincossin()sin();21cossin[sin()sin()];21coscos[cos()cos()];21sinsin[cos()cos()];2正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.则有:2sinsinsinabcRABC（R为三角形外接圆的半径）（1）已知三角形的两角与一边，解三角形。（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系。直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为A，B，C，则满足性质2222cos;abcbcA2222cos;bacacB2222cos;cababC222cos()/(2);Cabcab222cos()/(2);Bacbac222cos()/(2);Acbabc2.2三角函数的图像与性质主要包括三角函数的图象及其性质、函数sinyAaxb、cosyAaxb及tan()yAaxb的图象及其性质。关键是理解并掌握三角函数的图象及其性质、三角函数图象的变换。1．三角函数的图象及性质(1)正弦函数、余弦函数和正切函数的图象函数性质sinyxcosyxtanyx图像定义域RR,2xxkkZ值域1,11,1R最值当2()2xkkZ时，max1y；当22xkmin()1kZy时，当2()xkkZ时，max1y；当2ykkZ时，min1y既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kk()kZ上是增函数；在32,222kk()kZ上是减函数在2,2()kkkZ上是增函数；在2,2()kkkZ上是减函数在,22kk()kZ上是增函数对称性对称中心(,0)()kkZ对称轴,()2xkkZ对称中心2（k+,0）对称轴xk()kZ对称中心(,0)()2kkZ无对称轴2．理解函数sin()yAx图像中是由函数sinyx怎么变换来的，当,,A取不同值的时候，对图像的影响。由函数sinyx的图像到sin()yx图像的步骤。沿x轴平行移动横坐标伸长或缩短纵坐标伸长或缩短沿x轴扩展3.对于函数sin()yAx中未知数的求值，要记得几个公式。2T,A为值域。例3：右图是函数sinyAxxR在区间5,66上的图像，为了得到这个函数的图象，只要将sinyxxR的图象上所有的点（）(A)向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来步骤1画出sinyx在[0,2π]的简图步骤2步骤3步骤4步骤5得到sinyx在某周期内的简图得到sinyx在某周期的简图得到sinyAx在某周期内的简图得到sinyAx在R上的图像的12倍，纵坐标不变；(B)向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；(C)向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变；(D)向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变。解析：从图中可以得出1,,6AT。所以根据函数sinyx的图像到sin()yAx图像的步骤便可知选择答案A.例4：已知函数()2sin(),fxxxR，其中0,,()fx若的最小正周期为6，且当2x时，()fx取得最大值，则（）A．()fx在区间[2,0]上是增函数;B．()fx在区间[3,]上是增函数;C．()fx在区间[3,5]上是减函数;D．()fx在区间[4,6]上是减函数;解析：本种类型题主要考察有关sinyAx的图像及图的画法。熟记T与之间的关系2T.同时记住,A和的取值对于图像的影响。一般地，函数sinyAx,00xRA其中，的图像，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当0时）或向右(当0时)平行移动个单位长度而得到，再把所得各点的横坐标缩短（当1）或伸长（当01时）的原来的1（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（当1A时）或缩短（当01A时）到原来的A倍（横坐标不变）。同时会利用周期用五点法作图，以及给了图像可以从中找出,,A的值。2.3解三角形三角形中的三角函数关系式历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生更加深刻理解正弦和余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧。例5在ABC中，角..ABC所对的边分别为a,b,c．已知sinsinsin,ACpBpR且214acb．（Ⅰ）当5,14pb时，求,ac的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围；（I）解：由题设并利用正弦定理，得5,41,4acac解得1,1,41,1.4aacc或（II）解：由余弦定理，2222cosbacacB222222()22cos11cos,2231cos,22acacacBpbbbBpB即因为230cos1,(,2)2Bp得，由题设知60,2.2pp所以例6如图，A，B是海面上位于东西方向相距533海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知3)AB=5(3+海里，906030,45,DBADAB105ADB在DAB中，由正弦定理得sinsinDBABDABADBsin5(33)sin455(33)sin45sinsin105sin45cos60sin60cos45ABDABDBADB=53(13)103(13)2（海里），又30(9060)60,203DBCDBAABCBC海里，在DBC中，由余弦定理得2222cosCDBDBCBDBCDBC=13001200210