热力学统计物理――第4章(统计物理基础)

第四章统计物理基础4.1概率分布函数4.2粒子运动状态的经典描述4.3系统微观状态的经典描述和量子描述4.4等概率原理4.5近独立粒子系统的分布和微观状态数4.6系统微观状态能态密度一、统计物理的基本观点二、概率及概率分布三、统计平均值和涨落四、多个随机变量的联合概率分布函数五、几种典型的概率分布4.1概率分布函数返回1、物质是由大量微观粒子组成，分子间有作用力2、微观粒子作杂乱无章，永不停止的热运动3、物体宏观量是相应微观量的统计平均值4、单个微观粒子遵从力学规律性，大量粒子遵从统计规律性一、统计物理的基本观点返回1、随机事件的概率2、概率的加法定理3、概率的乘法定理4、随机变量的概率分布二、概率及概率分布返回1、随机事件的概率NNpANAlim（1）返回（2）2、概率的加法定理BABAPPP若A、B为互斥事件，则返回若A、B事件互为独立，则3、概率的乘法定理BABAPPP返回以一定概率取各种可能值的变量叫随机变量.4、随机变量的概率分布①分离型随机变量的概率分布②连续型随机变量的概率分布返回①分离型随机变量的概率分布1,,,,,,,,,,2121ininiiPPPPPxxxxP返回随机变量x取值在x→x＋d的概率dW,则概率分布为:②连续型随机变量的概率分布dxdWx/)(1)(dxx返回1、统计平均值2、涨落三、统计平均值和涨落返回算术平均值的极限值即为统计平均值，即对连续型：1、统计平均值dxxxX)(iiiiiNPxNNxXlimdxxxff)()(返回宏观量的观察值与统计平均值有偏差的现象叫张落现象。归平均值的偏差叫涨落。方差2、涨落2222)()()(XXXxxi返回变量X取值在dx、变量Y取值在dy范围的概率。ρ(x,y)的联合分布ρ(x,y)的边缘分布四、多个随机变量的联合概率分布函数dxdyyxdW),(dxdyyxdxx]),([)(返回1、二项分布2、泊松分布3、高斯分布五、几种典型的概率分布返回1、二项分布nNnNqpnNnNnP)!(!!)(返回2、泊松分布nnNennnP!)()(返回3、高斯分布22)(2/)(2)(21)(nnnennP返回一、近独立粒子体系二、粒子运动状态的经典描述三、微观粒子运动状态的量子描述四、常见粒子的量子态五、粒子能态密度g(ε)4.2粒子运动状态的经典描述和量子描述返回若一个粒子构成的体系，各粒子之间相互作用可忽略，则这种粒子组成的体系叫近独立粒子体系。一、近独立粒子体系返回1、自由度2、粒子运动状态的描述、μ空间、相轨道3、相轨道的作法二、粒子运动状态的经典描述返回确定一个粒子的位置所需要的独立坐标数，叫自由度，记为r，例如：平面上自由运动的粒子，r=2；直线上运动的粒子，r=1。1、自由度返回2、粒子运动状态的描述、μ空间、相轨道设粒子自由度为r，以r个广义坐标q1，……，qr为横轴，以r个广义动量p1，……，pr为纵轴所构成的2r维空间叫μ空间。在μ空间中的一个点代表粒子的运动状态，这个点叫代表点。粒子运动状态改变时，代表点移动所描述的轨道叫相轨道。返回步骤①确定粒子自由度r3、相轨道的作法②确定广义动量与广义坐标满足的函数关系③画出相轨道[例1][例2]返回[例1]从静止开始沿直线作匀加速运动，作出相轨道。解:取运动方向为x轴正向,坐标和动量为）0(2xxamp消去t得到（1）由（1）作出的相轨道如图4.2.1所示。x00xp图4.2.12021atxxmatmvp返回[例2]一维谐振子的相轨道222212xmmp（2）写为标准椭圆方程形式1)/2(2222mxmp（3）给定ε时，椭圆的半轴分别为和m22/2mp02/2mxm2图4.2.2返回⒈微观粒子的特性⒉微观粒子状态的量子描述三、微观粒子运动状态的量子描述返回（1）波粒二象性，并遵从德布罗意关系式1、微观粒子的特性h（2）遵从测不准关系hpqkhp/返回微观粒子的状态要用波函数Ψ或者一组量子数来描述，用波函数或量子数描述的粒子状态叫量子态。2、微观粒子状态的量子描述返回⒈自旋状态⒉三维自由粒子的量子态及量子态数四、常见粒子的量子态返回对电子、质子、中子等粒子，用自旋磁量子数表示1、自旋状态21Sm返回边长为L的立方体容器中的自由粒子，其状态由量子数nx，ny，nz描述，动量的三个分量px，py，pz为2、三维自由粒子的量子态及量子态数,2,1,12yyynnLp,2,1,02xxxnnLp（1）,2,1,02zzznnLp（2）能量可能值为2222222222)(21Lnnnmpppmzyxzyx当V较大时，动量px，py，pz和能量ε实际上可视为连续变化。由此求得体积V内、动量在dpx，dpy，dpz范围内自由粒子的量子态数zyxzyxdpdpdphVdndndnN3（3）dmhvdNN2/12/33)2(2dpphVdN234（4）利用能量mp22得到体积V内，粒子能量在ε→ε＋dε的量子态数（5）若不考虑方向，则动量大小在p→p＋dp范围，自由粒子的量子态数返回1、定义2、能态密度的计算五、粒子能态密度g(ε)返回单位能量间隔的量子态数称为粒子能态密度，即1、定义ddZg)(（6）dgdZ)(返回步骤②由g(ε)=dZ/dε求出g(ε)的量子态数①求出粒子能量在ε→ε＋dε的量子态数dz[例1]2、能态密度的计算返回[例1]求二维自由粒子的态密度g(ε)解：二维自由粒子的量子态由量子数nx，ny描述，动量分量px，py为：,2,1,0,22yxyxxnnnyLpnLp粒子动量在dpxdpy范围的量子态数yxyxdpdpLnnN2)2(ppypx图4.2.3dpdpLdNsin)2(2mp2/2pdpLNd2)2(22/hmdhLNd222面积L2内、动量大小在p→p＋dp，方向在θ→θ＋dθ范围内量子态数将θ由0到2π积分得到面积L2内，动量大小在p→p＋dp（任意方向）的量子态数利用可得粒子能量在ε→ε＋dε范围内的状态数(常数)mhLdNdg222)(2/12/33)2(2)(mhvgmhLg222)(于是L2内二维自由粒子态密度为现将一、二、三维的g(ε)比较如下：2/1)2(2)(mhLg①三维②二维③一维①②③0g(ε)图4.2.4ε返回一、系统微观状态的经典描述Г空间二、系统微观状态的量子描述4.3系统微观状态的经典描述和量子描述返回1、数学描述2、几何描述一、系统微观状态的经典描述Г空间返回1、数学描述用q1，……，qf和p1，……，pf共2f个变量描述Nrf返回系统状态用μ空间的N个代表点描述，或用Г空间的1个代表点描述N213系统pqiN321μ空间系统N123Г空间qpi2、几何描述返回1、全同粒子体系特点2、全粒子体系分类3、系统微观状态的量子描述[例]二、系统微观状态的量子描述返回①不可识别性，遵从全同性原理②费米系统遵从泡利不相容原理1、全同粒子体系特点返回玻色粒子系统：不可识别，1个量子态可有多个粒子2、全同粒子体系分类费米粒子系统：不可识别，1个量子态至多有1个粒子玻尔兹曼粒子系统：可识别，1个量子态可有多个粒子返回对可分辨的粒子系统，微观状态应确定每一个粒子的单个量子态3、系统微观状态的量子描述对不可分辨的粒子系统，微观状态应确定每一个量子态上的粒子数目返回[例]设2个粒子，单个粒子量子态有φ1、φ2、φ3个，画出系统微观状态解：①玻尔兹曼粒子昨天有如下9种微观态φ3φ2φ11212122112(a)(b)(c)(d)(e)φ3φ2φ112123113(f)(g)(h)(i)②玻色系统有如下6种微观态φ3φ2φ11212122112(a)(b)(c)(d)(e)12(f)φ3φ2φ1121213(a)(b)(c)③费米系统有如下3种微观态返回一、等概率原理的文字叙述和适用范围二、等概率原理的重要性4.4等概率原理返回等概率原理一、等概率原理的文字叙述和适用范围对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率相等。适用范围平衡态、孤立系统、大量粒子构成。返回等概率原理是统计物理的基本原理，是大量实验事实的总结概括而提出的基本假设。其正确性由实验检验，它不能用其它定理推导。以后各章节的内容以它为基础。二、等概率原理的重要性返回二、三种系统的微观状态数一、分布和微观状态三、非简并条件4.5近独立粒子系统的分布和微观状态数返回设N个全同近独立粒子构成的系统、体积V、能量E、能级εl、简并度ωl、能级粒子数为al。能级ε1，ε2，……，εl，……简并度ω1，ω2，……，ωl，……粒子数a1，a2，……，al，……一、分布和微观状态粒子分布如下[例]321321321122313(a)(b)(c)图4.5.1玻尔兹曼系统相应于分布（2.1.0）的微观状态粒子数排成的数列a1，a2，……，al，……叫一个分布，记为{al}每个个体量子态上的粒子数或者单个个体量子态构成的体系的整体状态叫系统的微观状态。应注意：1个分布可以有许多个微观状态。返回二、三种系统的微观状态数⒈玻尔兹曼系统的微观状态数lBMa⒉玻色系统的微观状态数lEBa⒊费米系统的微观状态数返回1、玻尔兹曼系统的微观状态数LaLLllBMaN!!3111!0!1!2!30,1,2012BM（1）lBMa×例如4.5.1玻尔兹曼系统，给定分布a1=2，a2=1，a3=0且非简并：ω1=ω2=ω3=1返回)!1(!)!1(llllllEBaaa（2）2、玻色系统的微观状态数lEBa返回3、费米系统的微观状态数)()!(!!llllllllDFaaaa（3）返回三、非简并条件1llaBMDFEBN!1条件（4）称为非简并性条件。物理意义是：当所有能级的粒子数都远于量子态数，不可识别的粒子就变成可识别的粒子，粒子间的关联可以忽略。若有（4）返回一、统计系综和系综代表点密度二、系统微观状态能态密度三、几种常见体系的能态密度4.6系统微观状态能态密度返回1、统计系综的定义2、系综代表点密度D3、概率分布函数ρ一、统计系综和系综代表点密度返回引入系综概念后使得1、统计系综的定义DsuDduuSt相应微观量对一切微观状态的平均系综平均为了解决如何进行统计平均而引入统计系综概念。定义：系综是大量的，彼此独立、力学性质相同但可处于不同微观运动状态假想系统的集合叫统计系综。物理量的时间平均返回定义：Г空间单位相体积元内系统微观状态代表点的个数叫系综代表点密度，记为D，是时间t、动量p、广义坐标q的函数，有2、系综代表点密度D)(),,(tndqdptpqD（t是总微观状态数）返回定义：系统微观状态出现在Г空间单位相体积元的概率，有3、概率分布函数ρ)(/),,(),,(tntpqDtpq1),(dpq（归一化条件）力学量平均值dqdppquu),(确定具体系统的ρ（q，p，t）是统计物理的基本问题返回1、定义二、系统微观状态能态密度2、的计算公式)(E3、N维球球体积计算公式返回系统能量在E附近单位能量间隔内的微观状态数，记为1、定义EWE)(返回2、的计算公式)(ENrNrNrdpdpdqdqhNW11!1积分范围：EEHEEWE/)(对量子体系，直接数量子态数对经典体系，采用Г空间计算返回3、N维球球体积计算公式NNNNRNdxdxRV)!2/()(2/1NNNRNR