第8章 几何建模

第8章几何建模客观世界中的物体都是三维的，真实地描述和显示客观世界中的三维物体是计算机图形学研究的主要内容。人造物体：是规则的，基于欧氏几何的几何模型能够较好地描述物体的几何信息和拓扑信息。自然对象：树木、花草、河流、山川、火焰、云雾等，采用传统的几何模型很难描述，基于分形几何的建模方法目前只能定性描述自然对象，精确描述自然对象的建模方法尚处于发展之中，本章重点介绍成熟的规则几何建模方法。线框模型几何模型描述物体的几何信息和拓扑信息。几何信息是指物体在欧氏空间中的形状、位置和大小；拓扑信息是指物体各分量的数目及其相互间的连接关系。早期模型。用顶点和棱边来描述物体，虽然所占的存贮空间较少，但没有包含全部的信息，定义的物体存在多义性；不能计算面积、体积等物理量；线框模型不能处理物体的侧影轮廓线，也不能生成剖切图、消隐图、明暗色彩图等，其应用范围很有限。面模型：比线框模型立体感强；“空壳”能够计算面积，表达物体的表面形状；进行剖切操作时，内部为空洞；在面模型上打孔，内部为“空洞”面模型可以理解为“实心”能够计算体积、面积、重量等基本物理量；动量、转达惯量；可以赋予材料特性；模拟物理的运动，受力变形体模型常用的三维实体模型：体素构造表示法边界表示法空间单元表示法等并交球－柱柱－球体素及体素间的交、并、差运算差体素：球和柱CSG树只定义了它所表示物体的构造方式，既不反映物体的面、边、顶点等有关边界信息，也不显式说明三维点集与所表示的物体在实际空间的一一对应关系。因此，这种表示又被称为物体的隐式模型或过程模型。体素构造表示法（CSG树）一个复杂物体可由一些比较简单、规则的物体经过布尔运算而得到。因而，这个复杂的物体可描述为一棵树。这棵树的终端结点为基本体素(如立方体、圆柱、圆锥)，而中间结点为正则集合运算结点。这棵树叫做CSG树，如图8-6所示。U－CSG树边界表示法（B－rep）三维物体可以通过描述它的边界来表示。图8-8顶点、棱边、表面之间的拓扑关系要用实体的边界信息表示一个实体，必须同时表示出实体边界的拓扑和几何信息。物体的拓扑信息指物体上所有的顶点、棱边、表面间是怎样连接的。就多面体而言，其顶点、棱边、表面之间的连接关系可以用九种不同的形式予以描述。如图8-8所示。数据结构中保存的拓扑关系越多，对多面体的操作越方便，但是占用的存储空间也就越大。因此要根据实际情况选择拓扑关系，以提高系统的整体效率。翼边数据结构边界表示法中最为典型的数据结构是翼边结构。翼边结构是美国斯坦福大学的B.G.Baugart等人于1972年提出来的，它是一个多面体表达模式。在表面、棱边、顶点组成的形体三要素中，翼边结构以边为核心来组织数据，如图8-9所示。图8-9翼边结构图8-10半边结构图8-11半边数据结构的层次关系边界表示的另一种比较典型的数据结构是半边数据结构。它是作为一种多面体的表示方法在20世界80年代提出来的。在构成多面体的三要素(顶点、边、体)中，半边数据结构以边为核心的。为了方便表达拓扑关系，它将一条边表示成拓扑意义上的方向相反的两条“半边”，所以称为半边数据结构。半边数据结构在拓扑上分为五个层次，即体—面—环—半边—顶点。扫描法扫描法的基本思想非常简单：“运动的物体”加上“轨迹”。常用的扫描方式有：平移式、旋转式和广义式。平移扫描法：沿垂直于二维集合进行扫描；旋转扫描法：绕某一轴线旋转某一角度；广义扫描法：二维几何集合沿一条空间曲线的集合扫描；平移扫描法旋转扫描法广义扫描法立方体网格模型这种模型将包含实体的空间分割成均匀的小立方体，建立一个三维数组，使数组中的每一个元素与(i,j,k)的小立方体相对应。当该立方体被物体所占据时，的值为1，否则为0。很容易实现实体的集合运算以及体积计算等。但是这种方法不是一种精确的表示法，其近似程度完全取决于分割的精度，与几何体的复杂程度无关。另外更重要的是要存储全部的有关信息需要大量的存储空间。八叉树表示很容易计算实体的整体性质，如质量、体积等。容易实现隐藏线和隐藏面的消除。。不能精确地表示一个实体的；几何变换也比较困难。所需要的存储容量较大物体之间的集合运算在八叉树表示中具有十分简单的形式。由定义可知，两物体的并就是这两个物体一共占有的空间，而物体之间的交即它们共同占有的空间。由于物体的八叉树表示就是它内部所有的大大小小的立方体组成，因此对物体执行并、交、差运算时，只需要同时遍历参加集合运算的两物体相应的八叉树，就可以获得拼合体的八叉树，而无需进行复杂的求交运算。便于做有限元分析、数据场可视化四面体网格模型是将包含实体的空间分割成四面体单元的集合，与六面体网格模型相比，四面体网格模型可以以边界面片为四面体的一个面，模型精度高，能够构建复杂形体的网格模型，在复杂对象的科学计算和工程分析中具有重要的应用。但四面体网格模型数据结构复杂，实现复杂空间域边界一致的四面体剖分是近年来的研究热点。四面体网格模型几何建模方法的应用与发展不同的几何建模方法可以满足不同的应用需求，对计算机软硬件的要求也不同。早期计算机软硬件性能有限，只能采用线框模型表达不太复杂的对象。随着计算机软硬件的快速发展，计算机的运算速度、内存容量以及图形运算的软硬件加速，为复杂对象的计算机表达创造了条件，即使如此，目前计算机软硬件条件要实现三维实体的真实感实时动态显示仍有一定的困难，应用过程中要根据实际需求采用合适的几何模型，如复杂物体动态真实感显示有困难，可在旋转、平移或缩放过程中显示线框模型，选定参数后可用静态的真实感图片表示设计结果。目前常用的CAD软件一般都包含线框模型、面模型、体模型，根据需要，可灵活使用。基于体元的体绘制方法是计算机图形学最新的发展分支，在CT、核磁共振等规则数据的处理中获得了应用。体绘制的方法简化了物体的建模过程，丰富了传统计算机图形学的研究内容，未来会在更多的领域获得应用。TheEnd课程教学内容到此结束。