离散型随机变量的均值与方差

离散型随机变量的均值与方差(一)一．随机变量的分布列.设离散型随机变量可能取的值为12,,,,,ixxx1x2xixP1p2pip为随机变量的概率分布列，简称为的分布列.取每一个值的概率则称表()iiPxp(1,2,)ixi对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律.在实际应用中，我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.由概率可知,在100次射击之前,估计得i环的次数为()100Pi.思考一:456789100.020.040.060.090.280.290.22某射手射击所得环数的分布列如下：P在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.分析：平均环数=总环数100所以,总环数约等于（4×0.02+5×0.04+6×0.06+…+10×0.22)×100.故100次射击的平均环数约等于4×0.02+5×0.04+6×0.06+…+10×0.22=8.32.一般地：对任一射手,若已知他的所得环数的分布列，即已知则可以预计他任意n次射击的平均环数是记为()(0,1,2,,10),Pii0(0)1(1)10(10)PPP我们称为此射手射击所得环数的期望，它刻划了所得环数随机变量所取的平均值。EE思考二:关于平均的意义,1.某商场要将单价分别这18元，24元，36元每公斤的3种糖果按需分3：2：1的比例混合销售，对混合糖果怎样定价才合理?236136312421182.如果混合糖果中每一颗糖果的质量相等,你能解释权数的实际含义吗?由于平均在每1kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是第一种1/2kg,第二种1/3kg,第三种1/6kg,每公斤这种糖果的价格为:思考二:关于平均的意义,1.某商场要将单价分别这18元，24元，36元每公斤的3种糖果按需分3：2：1的比例混合销售，对混合糖果怎样定价才合理?在混合糖果中任取一颗糖果,这颗糖果为第一种糖果的概率为1/2,第二种糖果的概率为1/3,第三种糖果的概率为1/6,每公斤这种糖果的价格为:236136312421182.如果混合糖果中每一颗糖果的质量相等,你能解释权数的实际含义吗?根据定义可推出下面两个结论:数学期望的定义:一般地，随机变量的概率分布列为则称1122iinnExpxpxpxp为的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.P1x2xnx1p2pnpixip结论1：则;,ab若EaEb结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np.()(),1,2,3iiPaxbPxi所以，的分布列为1122112212(()()(())))(nnnnnEaxbpaxbpaxbpaxpxpxpbpEabaEppaEbb即结论1：则,ab若EaEbP1axb2axbnaxb1p2pnpiaxbip∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=npξ01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=nCn-1k-1)结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np期望在生活中的应用广泛,见课本第63~64页例2.例3练习一1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则Eξ=.2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则Eη=.5.8ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,则a=b=.0.40.13.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分ξ的期望为．练习二1.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是.1.22.（1）若E(ξ)=4.5,则E(－ξ)=.（2）E(ξ－Eξ)=.0.7(详细解答过程见课本例1)-4.50这是一个特殊的二项分布(两点分布)的随机变量的期望,那么一般地,若ξ~B(1，p)，则Eξ=?P不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?例题3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元,为保护设备,有以下3种方案:方案1.运走设备,搬运费为3800元;方案2.建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水方案3.不采取措施,希望洪水不发生.试比较哪一种方案好?并说明理由.思考1.某商场的促销决策：统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列解:因为商场内的促销活动可获效益2万元P10－40.60.4所以E=10×0.6＋(-4)×0.4=4.4因为4.42,所以商场应选择在商场外进行促销.思考2.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利?1111830.6236E随着赌博场次增加,设赌者盈利.学习小结:1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式：（1）E(aξ+b)=aEξ+b;（2）若ξ～B（n,p），则Eξ=np2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。作业:课本P64至P65练习2,3,4,5课本P69习题A2。3课外思考:彩球游戏准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红赢得100元5红1白赢得50元4红2白赢得20元3红3白输100元2红4白赢得20元1红5白赢得50元6个全白赢得100元你动心了吗?前面，我们认识了数学期望.数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布列为ξx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn则称E11xp22xp…kkxp…nnxp为ξ的数学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．离散型随机变量的方差如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？问题探究:已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.18910P0.20.60.228910P0.40.20.4如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？下面的分析对吗？∵80.290.6100.29E280.490.2100.49E∴甲、乙两射手的射击水平相同.（你赞成吗？为什么？）显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的.方差定义一组数据的方差：方差反映了这组数据的波动情况在一组数：x1,x2,…,xn中，各数据的平均数为，则这组数据的方差为：x2222121[()()()]nSxxxxxxn类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..离散型随机变量取值的方差和标准差:22211()()()iinnDxEpxEpxEp则称为随机变量的方差.21()niiixEp一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：P1xix2x······1p2pip······nxnp称D为随机变量的标准差.它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。记忆方法:“三个的”2()ED即练习一下练习1.已知随机变量的分布列01234P0.10.20.40.20.1求D和σ.00.110.220.430.240.12E解：22222(02)0.1(12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.11.2D1.21.095D2.若随机变量满足P（＝c）＝1，其中c为常数，求E和D.E＝c×1＝cD＝（c－c）2×1＝0根据期望的定义可推出下面两个重要结论:结论1：则;,ab若EaEb结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np.那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论:(1)则,ab若?D(2)若ξ~B(n，p)，则Dξ=?可以证明,对于方差有下面两个重要性质：2()DabaD⑴~(,)(1)BnpDnpqqp若，其中⑵则特别的是X服从两点分布,则DX=pq1.已知随机变量的分布列为则E与D的值为()(A)0.6和0.7(B)1.7和0.3(C)0.3和0.7(D)1.7和0.212.已知~B(100,0.5),则E=___,D=____,___.E(2-1)=____,D(2-1)=____,(2-1)=_____练习:12P0.30.7D5025599100103、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求EX和DX。2，1.984.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数X的均值,方差和标准差.3.5,2.92,1.71刚才问题再思考:再看一例例2如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.18910P0.20.60.228910P0.40.20.4如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？解:∵80.290.6100.29E280.490.2100.49E∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又∵D0.4,2D0.8,∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲.如果对手在9环左右,派乙.例题1：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为，其分布列为0123P0.30.30.20.2012P0.10.50.4判断甲乙两人生产水平的高低？期望值高，平均值大，水平高方差值小，稳定性高，水平高E=0×0.3+1×0.3＋2×0.2＋3×0.2=1.3E=0×0.1+1×0.5＋2×0.4=1.3D=(0－1.3)2×0.3+(1－1.3)2×0.3＋（2－1.3）2×0.2＋（3-1.3)2×0.2=1.21结论：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高。D=0.41例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P1