动能定理综合例题例题

§13-６普遍定理的综合应用举例ll0AB例：图示弹簧两端各系以重物A和B，放在光滑的水平面上,重物A和B的质量分别为m1、m2,弹簧的原长为l0，刚性系数为k。若将弹簧拉到l然后无初速地释放，问当弹簧回到原长时，重物A和B的速度各为多少？§13-６普遍定理的综合应用举例ll0AB解：取整体为研究对象。m1gm2gFAFBvAvBx0xF因为，所以应用动量定理应用动能定理22022210)(2102121llkvmvmBA（2）BAvmvm210（1）由(1)、(2)两式解得：)()(21102mmmllkmvA)()(21201mmmllkmvB§13-６普遍定理的综合应用举例例：图示圆环以角速度ω绕铅垂轴AC自由转动。此圆环半经为R,对轴的转动惯量为J。在圆环中的点A放一质量为m的小球。设由于微小的干扰小球离开点A，小球与圆环间的摩擦忽略不计。求当小球到达点B和C时，圆环的角速度和小球的速度。ACBACB§13-６普遍定理的综合应用举例解：取整体为研究对象。zmgPFyF1zF1xF1yFx1.小球A→B应用动量矩定理0zM因为，所以BBmRJJ22mRJJB应用动能定理mgRJmvJBB222212121mmRJJJmgRvB1)(22222ACBzmgPFyF1zF1xF1yFx§13-６普遍定理的综合应用举例2.小球A→C应用动量矩定理0zM因为，所以CJJC应用动能定理mgRJmvJCC2212121222gRvC2解得解得§13-６普遍定理的综合应用举例例：如图所示两均质圆轮质量均为m，半径为R，A轮绕固定轴O转动，B轮在倾角为θ的斜面上作纯滚动，B轮中心的绳绕到A轮上。若A轮上作用一力偶矩为M的力偶，忽略绳子的质量和轴承的摩擦，求B轮中心C点的加速度、绳子的张力、轴承O的约束力和斜面的摩擦力。MBACO§13-６普遍定理的综合应用举例解：取整体为研究对象，假设轮B的中心C由静止开始沿斜面向上运动一段距离s，则各力所作功的和为smgRMmgsMW)sin(sin1201T2222212121BCCAOJmvJT221mRJJCORvCBA222222))(21(2121))(21(21RvmRmvRvmRTCCC由动能定理，得smgRMmvC)sin(02mRmgRMaC2sin2CmvMBACOmgmgFsFOyFOxFNvCBA§13-６普遍定理的综合应用举例(2)取轮A为研究对象，应用定轴转动微分方程RFMJTAO其中221mRJORaCA得)sin3(41mgRMRFT应用质心运动定理，得cosTOxOxFFmasinTOyOyFmgFma因aox=aoy=0，得cosTOxFFsinTOyFmgFcos)sin3(41mgRMR]sin3)sin4([412MmgRRMAOmgFOyFOxAFTxy§13-６普遍定理的综合应用举例(3)取轮B为研究对象，应用质心运动定理，得sTCFmgFmasin'代入已知量，得)sin(41mgRMRFs本问题也可应用相对质心的动量矩定理来求解。BmgFsFNF'TaCB§13-６普遍定理的综合应用举例例：两个相同的滑轮A和B，半径各为R，重量各为P，用绳缠绕连接。两滑轮可视为均质圆轮。系统从静止开始运动。求轮B质心C的速度v及加速度a与下落距离h的关系。ACBh§13-６普遍定理的综合应用举例ACBh解：取整体为研究对象。FxFyPPABvPhvgPRgPRgPBA021)21(21)21(2122222由运动学知：BARRvACBFxFyPAPBvFF'取轮A为研究对象FRtRgPAdd212取轮B为研究对象RFtRgPB'2dd21§13-６普遍定理的综合应用举例由于F=F'，开始时系统静止，所以BARv2代入前面的方程，得PhvgP285ghv522上式两边求导，得PvvagP45ga54§13-６普遍定理的综合应用举例例：图示三棱柱体ABC的质量为m1,放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体O由静止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为θ,求三棱柱的加速度。ABCO§13-６普遍定理的综合应用举例ABCOm1gm2gFNvrv1v1解：取整体为研究对象。应用动量定理x0xF因为，所以0)cos(r1211vvmvm1221rcosvmmmv应用动能定理sin0)21(2121212222222211gSmrmvmvm其中cos2r12r2122vvvvvrvr§13-６普遍定理的综合应用举例sin)(21cos)(432212122221gSmvmmmmm两边求导（注意：），得1221rcosddvmmmvtSsincos)(cos)(2312212112122221vmmmgmavmmmmm所以gmmmma222121sin232sin§13-６普遍定理的综合应用举例例：物块A、B的质量均为m,两均质圆轮C、D的质量均为2m,半径均为R。C轮铰接于无重悬臂梁CK上,D为动滑轮，梁的长度为3R，绳与轮间无滑动。系统由静止开始运动,求：1.A物块上升的加速度；2.HE段绳的拉力；3.固定端K处的约束力。KEDCBAH§13-６普遍定理的综合应用举例解：1.取整体为研究对象。2222222)221(2)221(21DDBCAmRmvmvmRmvT式中RvACABDvvv21RvAD21得223AmvT该系统所有力的功率为AABmgvmgvmgvP213vAvBCDKEDCBAH§13-６普遍定理的综合应用举例由功率方程PtTdd可解得gaA61CAvACmgF2mgFCxFCy2.取轮C和重物A为研究对象。RmgFRmvmRtAC)()221(dd2RmgFmRaA)(2mgF34由动量定理，有CxF0FmgmgFmaCyA2所以mgFFCxCy5.40KC§13-６普遍定理的综合应用举例3.取梁CK为研究对象。F'CxF'CyFKxFKyMK0xF0yF0KM解得0KxFmgFFFCyCyKy5.4'mgRFRMCyK5.133'0'CxKxFF0'CyKyFF03'CyKFRM§13-６普遍定理的综合应用举例例:均质细长杆为l、质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。CACA§13-６普遍定理的综合应用举例解：取杆为研究对象。由于水平方向不受力，到下过程中质心将铅直下落。设杆左滑于任一角度θ，如图所示，P为杆的瞬心。由运动学知,杆的角速度cos2lvCPvCC2222)cos311(212121CCCvmJmvT由动能定理，得)sin1(2)cos311(2122lmgvmCglvC321lg3当时解出0mgFNvAvCP§13-６普遍定理的综合应用举例杆刚到达地面时。CmaFmgN1222NmlJlFC点A的加速度aA为水平,由质心守恒，aC应为铅垂,由运动学知tnCACAACaaaa沿铅垂方向投影，得2tlaaCAC4NmgFmgFNaCAC由刚体平面运动微分方程，得