第三章 杆件的应力与强度计算(拉伸杆)

MechanicsofMaterials§3-1引言§3-2拉（压）杆的应力与应变§3-3材料在拉伸和压缩时的力学性能§3-4失效、许用应力和强度条件§3-6薄壁圆筒的扭转§3-7圆轴扭转时的应力与强度条件§3-8纯弯曲时梁的正应力§3-9横力弯曲时梁的正应力.弯曲正应力强度条件§3.10弯曲切应力.弯曲切应力强度条件§3-11梁的合理设计§3-12剪切与挤压的实用计算§3-13应力集中§3-1引言问题提出：PPPP1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：①内力在截面分布集度应力；②材料承受荷载的能力。思路（“三方面”法）：变形几何关系、物理关系、静力学关系变形几何关系：杆件的应变规律←变形规律→假设物理关系：应力与应变间的关系静力学关系：内力与应力的关系（内力与外力的关系）材料的力学性能§3-2拉（压）杆的应力与应变一、拉（压）杆横截面上的应力FF所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与轴线垂直。变形前受载后2.各纵向纤维伸长相同，由均匀性假设，各纵向纤维的力学性能也相同，所以它们所受的力也相同。3.内力的分布FFN均匀分布1.平面假设(Planeassumption)变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面，且仍垂直于轴线.4.正应力公式AFN拉为正压为负拉压直杆杆的截面无突变截面到载荷作用点有一定的距离6.公式的应用条件：危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。5.危险截面及最大工作应力：))()(max(NmaxxAxF7.Saint-Venant原理：力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响离开载荷作用处一定距离（约为横截面尺寸），应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。Saint-Venant原理与应力集中示意图(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)变形示意图：应力分布示意图：abcPP[例1]如图所示起吊三角架，已知AB杆由2根80×80×7等边角钢组成，F=130kN，θ＝30°。求AB杆横截面上的应力。解：（1）计算AB杆内力得由,0yF取节点A为研究对象，030sin1NFF260kN2N1FF（2）计算σABMPa7.1191010286.10102606431NAFABCαBAFF1NF2NFA[例2]起吊钢索如图所示，截面积分别为A1=3cm2，A2=4cm2，l1=l2=50m，P=12kN，ρ=0.028N/cm3，试绘制轴力图，并求σmax。PA2A1BAC1221解：（1）计算轴力AB段：取1—1截面)0(1111N1lxxAPFBC段：取2—2截面)(12112211N2lxllxAlAPF（2）计算应力MPa4.41101031042.126431NAFBBMPa45.32101041098.126432NAFCCMPa4.41maxBFS(kN)BCA1212.98NFFkkFcoscosAFAFp二、斜截面上的应力1.斜截面上的应力FkkFαpα以pα表示斜截面k-k上的应力，于是有AFpcosAAFF沿截面法线方向的正应力沿截面切线方向的剪应力将应力pα分解为两个分量：2coscospsinsin22ppαFkkFFkkxnpα（1）α角2.符号的规定(Signconvention)（2）正应力拉伸为正压缩为负（3）切应力对研究对象任一点取矩pαFkkFFkkxnpα顺时针为正逆时针为负逆时针时为正号顺时针时为负号自x转向n（1）当=0°时，（2）当=45°时，（3）当=-45°时，（4）当=90°时，max2max讨论2min00,2coscospsinsin22pxnFkk三、拉（压）杆的应变.胡克定律1、纵向变形纵向应变llΔlll1Δ纵向变形2、横向变形横向应变bbbbbΔ1横向变形bbb13、泊松比(Poisson’sratio)ν称为泊松比4、胡克定律(Hooke’slaw)式中E称为弹性模量(modulusofelasticity)，EA称为抗拉（压）刚度(rigidity).实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比.上式改写为AFNllΔE由EAlFlNΔ§3-3材料在拉伸和压缩时的力学性能（1）常温:室温（2）静载:以缓慢平稳的方式加载（3）标准试件：采用国家标准统一规定的试件一、试验条件及试验仪器1、试验条件：材料的力学性能：也称为材料的机械性能，指材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性。圆截面试件：l＝10d，l＝5d板试件（矩形截面）：A65.5,A3.11ll标距：试样上试验段长度2.试验设备（1）万能材料试验机（2）游标卡尺二、拉伸试验低碳钢拉伸时的力学性质应力应变曲线（－图）拉伸图(P-L曲线)试样的变形完全是弹性的。即加载变形，卸载后变形能完全恢复。(一）弹性阶段（OA段）弹性极限eA点所对应的应力是弹性阶段的最高值，是材料只出现弹性变形的最高值。在弹性阶段内有一段直线段，在该段内σ、ε之间呈线性关系，称为比例阶段，也称线弹性阶段线弹性阶段（OA′段）比例极限p（虎克定律）EtgEA′对应的应力是线弹性阶段最高值(二)屈服阶段(AC段)塑性变形（残余变形）：卸载后不能恢复的变形。滑移线（与轴线成45°夹角）变形特点：σ基本不变，ε显著增加——屈服或流动上屈服极限——不稳定下屈服极限——稳定——屈服极限（σs）塑性材料的失效应力:s（三）强化阶段（CD段）材料的强化：材料恢复抵抗变形的能力。（四）颈缩阶段（DE段）试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现象。一直到试样被拉断。σb——强度极限（或抗拉强度）试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由l变为l1，横截面积原为A，断口处的最小横截面积为A1.断面收缩率伸长率≧5%的材料，称作塑性材料(ductilematerials)5%的材料，称作脆性材料(brittlematerials)伸长率和端面收缩率%1001lll%1001AAA几个概念卸载定律：把试样拉到超过屈服极限后卸载，在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。冷作硬化：在材料强化阶段卸载后再加载,材料比例极限提高,而塑性降低的现象。e是试样的弹性应变冷作时效：在常温下把材料预拉到强化阶段，然后卸载，经过一段时间后再受拉，则其线弹性范围的最大荷载还有所提高。是试样的塑性应变p铸铁在拉伸时的力学性能铸铁拉伸时力学性能特点：1）无屈服和颈缩现象；2）拉断时应力较小；3）基本无直线段，近似服从胡克定律，并以割线的斜率作为弹性模量。只有一个强度指标σbO/MPa/%ｂα割线斜率tanE其它金属材料在拉伸时的力学性能对于没有明显屈服阶段的塑性材料，当产生的塑性应变ε＝0.2%时，所对应的应力作为塑性指标，并用σP0.2表示,称为规定非比例伸长应力（名义屈服极限）0.20.2%o三、材料压缩时的力学性能1.实验试件dh0351.~.dh压缩的实验结果表明低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限s都与拉伸时大致相同.屈服阶段后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不可能被压断，因此得不到压缩时的强度极限.2.低碳钢压缩时的σ-ε曲线3.铸铁压缩时的σ-ε曲线铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45°～55°倾角，表明这类试件主要因剪切而破坏。铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的4～5倍.§3-4失效、许用应力和强度条件失效：由于各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象，称为失效。材料的两种失效形式：（1）塑性屈服：指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有屈服现象。塑性材料如低碳钢等以塑性屈服为标志。（2）脆性断裂，材料失效时未产生明显的塑性变形而突然断裂。脆性材料如铸铁等以脆断为失效标志。极限应力(Ultimatestress)：失效时的应力,并用u表示。塑性材料—塑性屈服—极限应力σu—屈服极限σs脆性材料—脆性断裂—极限应力σu—强度极限σb以大于1的因数除极限应力，并将所得结果称为许用应力，用[]表示.nu][许用应力(Allowablestress)n—安全系数(factorofsafety)塑性材料(ductilematerials)脆性材料(brittlematerials)ss][nbb][n材料性质理想构件与实际构件之差别加载性质工作条件安全系数的选取塑性材料：n=1.2~2.5脆性材料：n=2.0~3.5强度设计准则))()(max(NmaxxAxF其中：[]－许用应力，max－危险点的最大工作应力。②设计截面尺寸：][maxNminFA;maxNAF)(NiFfP依强度准则可进行三种强度计算：保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。max①校核强度：③许可载荷：[例3]已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q=4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径d=16mm，许用应力[]=170MPa。试校核刚拉杆的强度。钢拉杆q8.5mABC①整体平衡求支反力解：钢拉杆8.5mqFAyFBFAxkN5.19,00,0AyBAxxFFmFF③应力：④强度校核与结论：MPa170MPa131max此杆满足强度要求，是安全的。MPa131016.014.3103.264d4232NmaxPAF②局部平衡求轴力：qFNkN3.260NFFmCFAyFAxFCyFCx。sin/;/NhLFABDBBD[例4]简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使BD杆最轻，角应为何值？已知BD杆的许用应力为[]。;BDBDLAV分析：xLhPABCDPxhmBA)ctg()sin(F,0NcosNhPLFB/NBFABD杆面积A：解：BD杆内力FN：取AC为研究对象，如图FAyFAxFNBxLPABCxLPABC③求VBD的最小值：;2sin][2sinPL/AhALVBD][245minoPLV,时FAyFAxFNB[例5]已知：α=30°，斜杆由二根80×80×7等边角钢组成，横杆由二根10号槽钢组成，材料均为A3钢，许用应力[σ]=120MPa。试求许可载荷F。30°解：1、受力分析，画受力图。设FN1为拉力，FN2为压力。由平衡条件,0yFFFF230sin1N,0xFFFFF732.130cos230cos1N2N30°xyFFN1FN2A2、计算许可轴力由式AFN得AFN由附录Ⅱ型钢表查得斜杆横截面积A1=10.86×2=21.72cm2，横杆横截面积A2=12.748×2=25.496cm2。[FN1]=21.72×10-4×120≈260(kN)[FN2]=25.496×10-4×120=306(kN)kN130226021N1FFkN5.176732130673212N2..FF许可载荷[F]=130kN。