第六章 控制系统的稳定性分析

稳定性是线性控制系统中最重要的问题第六章控制系统的稳定性分析一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。第一节控制系统稳定性的基本概念一.稳定性概念Mbcoodfabcde条件稳定系统b、c——允许偏差范围d、e——规定偏差边界稳定系统不稳定系统稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上。这样，在干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系统的初始偏差。因此，控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统稳定。否则，称该系统不稳定。控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是讨论输入为零，仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。至于机械工程系统往往用激振或外力的方法施以强迫振动或运动，而造成系统共振或偏离平衡位置，这并不是控制理论所要讨论的稳定性。二系统稳定的条件ttnttxt=0tyt00iyy-sG1sG2sXsYsN212101110111mmmmnnnnYsGsNsGsGsbsbsbsbasasasa-sG1sG2sXsYsN定的。到零，这样的系统是稳则零输入响应最终衰减平面的左半面有闭环极点位于均为负值，或说系统所实部，若系统所有特征根的因此对于线性定常系统特征根的实部，对应闭环系统传递函数，][snkkjpnnnmmmasasabsbsbsYsN1101101脉冲信号，扰动信号可看作是单位rknknkkqjjmiisspszsK122112rknknkkkkqjjjssCsBpsA122120y11齐次方程的解应趋于时，系统稳定，当按照稳定性定义，如果ttFtBeeAtqjnkjdkkdkkttpinkkisincos00nkkjp，件是：系统稳定的充分必要条反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就不稳定。可见，稳定性是控制系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关；对于纯线性系统来说，系统的稳定与否并不与初始偏差的大小有关。控制理论所讨论的稳定性都是指自由振荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。上述结论对于任何初始状态（只要不超出线性工作范围）都成立，且当特征根具有相同值时，也成立。控制系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部。或闭环传递函数的极点全部具有负实部（位于左半s平面）。)()()()()()(sHsGsGsXsYs101)()(sHsG为闭环传递函数的特征方程式。闭环系统传递函数第二节劳斯稳定判据为了避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，并以此来判断系统的稳定性。这就产生了一系列稳定判据。一、劳斯判据的必要条件系统稳定的两个必要条件：1.特征方程中各项系数ai≠02.特征方程的各项系数ai符号相同归结为：特征方程的各项系数ai001122110nnnnnasasasasasHsGsD系统特征方程为：0123213n3212n75311n6420nssscccsbbbsaaaasaaaas劳斯阵列如下：一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。130211aaaaab150412aaaaab170613aaaaab121311bbaabc131512bbaabc0asasasasasDn1n2n21n1n0二劳斯稳定判据的充要条件劳斯稳定判据的充要条件：1.特征方程的各项系数皆02.劳斯阵列的第一列元素符号一致0123442331sssss判断系统稳定性、系统特征方程为：例03s4s3s2ssD1234解：满足必要条件13-23系统不稳定。个右根，有次，符号改变劳斯阵列第一列2sD20K必要条件：-sXisXo21sssK例2K为何值时，系统稳定K2s1ssK2s1ssK12s1ssKsXsXio解：02323KssssD系统特征方程为：0123ssKs2s313K6K60K系统稳定的充要条件：0K0K60有：符号满足劳斯阵列第一列-sXisXo2613sssK例3若要求闭环特征方程的根的实部均小于-1，问K值应取在什么范围？KsssKsssKsssKsXsXio1613161311613解：01818923KssssD系统特征方程为：01231018631uuKuu3914K1018K0101836123KuuuuDusu的特征方程为：得系统关于令,01018039140KK有：符号满足劳斯阵列第一列0K191495于闭环特征根的实部均小,K三劳斯判据的特殊情况：1、某行第一列元素为零，而其余各项不为零的情况（零元素由无穷小正数ε代替）；2、某行所有元素均为零的情况01234sssss33111判断系统稳定性：例01s3ss3ssD423433第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定。\10133lim0000判断系统稳定性：例02ss2ssD5230123ssss2211\02第一列系数符号无改变，故系统没有正实部的根。2,02s122s223sjssss[S]行为0，表明系统有一对共轭虚根，所以，系统临界稳定。1s由该行的上一行元素来解决：（1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替全为零的行；（2）构成辅助方程，并解出这些大小相等但位置径向相反的特征根。2、某一行所有元素均为零表明在S平面内存在大小相等但位置径向相反的根，即存在两个大小相等、符号相反的实根和（或）一对共轭复/虚根，[S]显然，这些根的数目一定是偶数。016s16s20s12s8s2ssD623456：例0123456sssssss1612216122162081辅助多项式8624ss\1\331第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。辅助方程08s6s248ss1243求导：ss343：除以04s2s222js2js4.32.1\1\6\800系统临界稳定38第三节奈奎斯特稳定判据sXsYsGsH-sHsGsGsXsY1闭环传递函数：平面。都必须位于左半闭环特征方程的根）极点（闭环传递函数的所有的全部根，为了保证系统稳定，SsHsG/01一、奈奎斯特稳定判据1．稳定性判据平面的极点可能位于右半虽然开环传递函数SsHsG这样，闭环系统的绝对稳定性可以由开环频率响应曲线图解确定，无需实际求出闭环极点，所以这种判据在控制工程中得到了广泛应用。联系起来。数平面内的零点数和极点在右半闭环特征方程与将开环频率特性奈奎斯特稳定判据ssHsGjHjG01sHsGsGsXsY1闭环传递函数：奈奎斯特稳定判据为：定的。稳的关系时，闭环系统是当满足于为右半平面的个数假定开环极点在的圈数为点，，它以逆时针方向绕奈奎斯特图图闭合的极坐标范围内变化时，可画出至在，当中，令在开环传递函数PNPsNjjssHsG,,010,1jRe0,1jReIm0,1jRe00,1jRe0,1jReIm0,1jRe0系统稳定,,PNPN22))()(()()(1312119152ssssssHsG))()(()()(ssssssHsG3112119152系统不稳定,,PNPN12作法：将ω从-∞到0的乃氏曲线补齐，与ω从0到+∞曲线关于实轴对称通常画的是开环奈氏图应用奈奎斯特判据的特殊情况：(1)确定开环极点的数目P时，虚轴上的开环极点按左极点处理；(2)穿越：开环奈氏曲线穿过(-1,j0)点左边的实轴Re∈(-∞,-1)。由上而下为正穿越(逆时针)jG0,1j负穿越一次正穿越一次0负穿越半次正穿越半次jG01j,(3)开环传递函数含有积分环节：（含落在原点的极点，开环奈氏曲线不与实轴封闭。）作辅助圆：以无穷大为半径，连接ω=0+与0-，顺时针补画相角为N180º的圆1NNs1jG01j,00N若P=1，则系统稳定00处于临界状态。点，则闭环系统，若曲线通过不稳定反之点，则闭环系统稳定；，不包围曲线变化，从若（开环稳定）时，即函数是最小相位传函，闭环系统中的开环传递013201010jjjHjGP.;,.~.0,1j0,1jIm0,1jRe00,1j0,1jIm0,1jRe00,1j0,1jIm0,1jRe0例1s05.01s1.0sKsG判别系统稳定性01P系统开环解:图画Nyquist2105.011.0jjjKjG105.011.022KjG05.0arctan1.0arctan290:0jG2700:jG30114.1405.0114.141.014.1414.1422KKjG05.01.02::arctgarctgNyquist即令曲线与负实轴的交点求14.14200:05.01.01,2即得两边取正切90:0jG2700:jGjGReIm30K30K030K-1故系统不稳定时：14.14)1G(j30K系统稳定时：14.14)1G(j300K-1程度越低。点越近，稳定性，的轨迹离高；点越远，稳定性程度越，迹离的轨，且闭环稳定，则若图可知：从01010jjGjjGPNyquistjG0,1j这便是通常所说的相对稳定性，它通过对（-1，j0）点的靠近程度来度量。jG定量表示为：gK幅值裕量相位裕量二、稳定裕度1、相位裕量线的相位差。时，相频特性距增益交点频率当180cjGcc180c正相位裕量具有正相位裕量的系统不仅稳定，而且还有相当的稳定储备，它可以在的频率下，允许相位再增加度才达到临界稳定条件。c因此相位裕量也叫相位稳定性储备。0,1j2、幅值裕量当时，开环幅频特性的倒数。ggjGK1gjGgKg在Bode图上，18020dB