数学课件人A必修5第一章小结

天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.正弦定理(1)正弦定理＝＝＝2R体现了三角形中的边角关系，是边与角的和谐统一，用正弦定理可以解决解三角形的两类问题：•①已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．(2)值得注意的是已知三角形的任意两边与其中一边的对角，运用正弦定理解三角形时，解可能不唯一，可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的个数．AasinBbsinCcsin天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2.余弦定理余弦定理主要解决以下两类解三角形问题：①已知三角形的两边和它们的夹角由余弦定理求出第三边进而求出其余两角．②已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其它角．另外，在应用余弦定理解决问题时，要特别注意定理的变式，做到灵活应用．3.正、余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生产生活中有着非常广泛的应用．常见题有距离问题、高度问题、角度问题以及求平面图形的面积问题等．解决这类问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，可用框图表示：天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学提示：h＝3(20)＋1.70≈13.2米．考点1三角形面积的计算例1:△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.2[解](1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝22，因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故a＝b×sinAsinB＝2＋62＝1＋3.c＝b×sinCsinB＝2×sin60°sin45°＝6.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学[借题发挥]结合题目中现有条件，熟练的应用正、余弦定理及其变型，准确合理的选择恰当的定理应用，是解决解三角形问题的基本思路和方法，此外还应注意三角形内在的一些隐含条件，例如内角和为π等等．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，a＝，b＝2，a，b两边其中一边的对角为45°，求sinC.6解：当A＝45°时，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝33.∵ab，∴B为锐角，cosB＝63.sinC＝sin(A＋B)＝22(cosB＋sinB)＝23＋66.当B＝45°时，由正弦定理得sinA＝asinBb＝32.∵45°A135°，∴A＝60°或A＝120°.若A＝60°，cosA＝12，sinC＝sin(45°＋60°)＝2＋64.若A＝120°，cosA＝－12，sinC＝sin(45°＋120°)＝6－24.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学综上，当A＝45°时，sinC＝23＋66；当B＝45°时，sinC＝2＋64或sinC＝6－24.2.已知a、b、c是△ABC中A、B、C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝53，求c的长度．解：∵S＝12absinC，∴sinC＝32，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝21，∴c＝21；当C＝120°时，c2＝a2＋b2－2abcosC=a2＋b2＋ab＝61，∴c＝61.∴c的长度为21或61.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点2正、余弦定理的综合应用例2：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值bsinA＝3acosB.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学[借题发挥](1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．(2)要注意利用△ABC中A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)＝－cosA，tan(B＋C)＝－tanA，等，进行三角变换的运算．sinB＋C2＝cosA2天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学4.已知△ABC的周长为4(＋1)，且sinB＋sinC＝sinA.(1)求边长a的值；(2)若S△ABC＝3sinA，求角A的余弦值．22天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点3利用正、余弦定理判定三角形的形状例3：在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学[借题发挥]判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学5.在△ABC中，已知3b＝2asinB，且cosB＝cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形3天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学6.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学[妙解]天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点4正、余弦定理在实际问题中的应用例4：如图所示，一辆汽车从A市出发沿海岸一条直公路以100km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500km且与海岸距离为300km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一件稿件交送给这辆汽车的司机．(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？(2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角；(3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把稿件交到司机手中，最快需要多长时间？天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学[借题发挥]此类相遇问题，一般以出发点、相遇点构成一个三角形，利用正、余弦定理解此三角形，抓住它们到相遇点在同一时刻，设出未知数沟通三角形中各元素间的关系，通过两个定理列出方程(组)，解方程(组)即可．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学7、如图所示，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔尖A处的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500m，求塔高AB.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学6(π)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)(时间：90分钟满分：120分)1.(湖南高考)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于()A.π12B.π6C.π4D.π3天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3。在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，当a2＋b2c2时，△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学4.△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为()A．43B．5C．52D．62天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学5.在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝4，那么满足条件的△ABC()A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定6天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，b＝8，c＝8，S△ABC＝16，则A＝()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°33天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学7.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为()天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学8.△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学9．△ABC中，BC＝，A＝60°，AC＝4，则边AC上的高是()13天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学10.空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，若A、B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是()天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学11.(安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学12.等腰三角形的底边长为a，腰长为2a，则腰上的中线长等于________．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学13.在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC/cosA的值等于________，AC的取值范围为________．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学14.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距anmile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，则甲船应沿________方向前进才能尽快追上乙船，追上时乙船已行驶了_______nmile.3天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学三、解答题(本大题共4小题，共50分)15.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2x－(cos2x－sin2x)－1.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且c＝，f(c)＝0，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(3，sinB)共线，求a，b的值．723天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学16.(本小题满分12分)(新课标全国