教学目的多元函数的有关概念

•教学目的：多元函数的有关概念•教学重点：平面区域二元函数的连续性•教学难点：二元函数极限的计算多元函数多元函数多元函数定义域极限连续性区域邻域运算性质•以前讨论的函数只含有一个自变量，称为一元函数.•本章将以一元函数微分学为基础介绍多元函数微分学及其应用.多元函数•但实际问题通常受多种因素的影响.•例圆柱体的体积v=πr2h，它含有两个自变量.又如温度的变化，它与空间点的坐标（x,y,z）和时间t等因素有关，故表示温度的函数至少含有4个自变量.含有多个自变量的函数称为多元函数.多元函数•定义1全部xoy平面或由xoy面上一条或几条曲线围成的一部分平面，称为一个平面区域，常用字母D表示.•围成区域的曲线称为区域的边界.•闭区域，开区域，有界区域，无界区域.•x轴上的区间可用x的不等式（组）表示，•xoy平面上的区域可用x、y的不等式（组）表示.平面区域与邻域xyy+x=1O1xy1图示8.1O21图示8.2例1画出以下区域：（1）4422yx（有界闭区域）（图示8.1）;（2）yx1（无界开区域）（图示8.2）.例题定义2以点),(000yxP为中心，以为半径的平面区域22020)()(),(yyxxyx称为点0P的邻域.邻域例2理想气体的压强P，体积V和绝对温度T之间具有关系VRTP其中R是常数.对于V和T在它们的变化范围内所取的每一值，P的对应值随之而确定.例题例3设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则其体积为v=xyz.在长、宽、高的变化范围内给定一组x、y、z的数值，体积v就随之而确定.定义3设D是平面上的一个点集，如果对于每个点P(x，y)∈D，变量z按照一定的法则总有确定的值与之对应，则称z是变量x、y的二元函数(或点P的函数)，例题•记为z=f(x,y)(或z=f(P)).•点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量.•数集{z|z=f(x,y)，(x,y)∈D}•称为该函数的值域.•类似地•可以定义三元函数u=f(x,y,z)和更多元的函数.二元及二元以上的函数叫多元函数.多元函数（2）要使函数有意义，变量x,y必须满足12x且xy0.即.,22yxx•在平面上它表示条型区域.例4求下列函数的定义域，并在平面上表示出来：（1）);ln(1yxxz（2）xyxyxzcos2arcsin解（1）函数的定义域为：0x且0yx.•在平面上它表示无界开区域y+x=0xy图示8.3Oxy图示8.4O2-2y=x•多元函数定义域的求法和一元函数定义域的求法类似，定义域在几何上的意义与一元函数是不同的.例题以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标，在空间确定了一个点M(x,y,z).设二元函数z=f(x,y)的定义域为D，对于任意取定的点P(x,y)∈D，对应的函数值为z=f(x,y).•当点(x,y)在D上变化且取遍D上的一切点时，动点M(x,y,z)在空间移动形成一张曲面，称为函数z=f(x,y)的图形（图示8.5）.二元几何意义•例5指出下列二元函数对应的空间曲面：（1）z=3x－2y;（2）221yxz.•解（1）过原点的平面.（2）下半球面，曲面在xoy面上的投影是单位圆x2+y21.例题类似于一元函数，考虑当动点P(x,y)趋于定点),(000yxP时，函数z=f(x,y)的变化趋势.用0xx、0yy来表示P(x,y)),(000yxP.定义4设z=f(x,y)在点),(000yxP的某邻域（点0P可除外）有定义.若当P(x,y)),(000yxP时，对应的函数值f(x,y)趋于常数A，则称A为f(x,y)当0xx、0yy时的极限，Ayxfyyxx),(lim00.记为二元函数的极限动点P(x,y)在平面上趋于定点),(000yxP有多种不同方式，如沿射线、沿曲线、沿点列等等.一元函数极限中0xx只有左侧和右侧两种方式因而二元函数的极限一般较难计算.不过，二元函数的极限有与一元函数极限相同的四则运算法则，且某些二元函数极限问题可以转化为一元函数的极限来计算.注意解例6求yxyyxsinlim02.220sinlimlim122xxyxyxxy2200sinsinlimlim()xxyyxyxyxyxy例题若f(x,y)在区域D上每点都连续，则称f(x,y)为区域D上的连续函数.定义5设z=f(x,y)在点),(000yxP的某邻域有定义，若),(),(lim0000yxfyxfyyxx,（2）则称函数f(x,y)在点0P连续.定理1(1)连续函数的和、差、积、商（分母不为零）和复合函数仍为连续函数.(2)初等函数在其有定义的区域上连续.利用定理1很容易确定初等函数的连续区域或求初等函数的某些极限.二元函数连续性故定理2（1）在有界闭区域D上连续的函数必在D上有最大值和最小值.例8求22210arcsinlimyxyx.解由于22arcsinyx在点（0，21）的充分小邻域内是连续的，621arcsin410arcsinarcsinlim22210yxyx（2）在有界闭区域D上连续的函数，必能取得介于最大值和最小值之间的任何值.例题(1)连续函数的和、差、积、商(分母不为零)和复合函数仍连续；(2)初等函数在其有定义的区域上连续；(3)在有界闭区域D上连续的函数必在D上有最大值和最小值；(4)在有界闭区域D上连续的函数，必能取得介于最大值和最小值之间的任何值.几个重要结论1、设yxxyyxf),(，求)3,21(f和)1,1(f.2、设f(x+y,x－y)=xy+y2,求f(x,y).3、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）1122yxz；（2）);12ln(2xyz练习题（3）)sin(22yxz；（4）22221arccos4arcsinyxyxz.4、求极限：（1）;)ln(lim2210yxexxyx（2）11lim00xyxyyx.5、确定下列函数的连续范围：（1）;22xyxz（2）yxxyzsinsincos.练习题