教学目的边际函数教学重点边际成本边际收益边际利润教学难解读

•教学目的：边际函数•教学重点：边际成本边际收益边际利润•教学难点：函数弹性及其运算第五讲边际函数主视图边际函数边际成本边际收益边际利润函数弹性弹性的意义弹性四则运算)()()(lim0000xfxxfxxfx在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率．平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(xfy在),(00xxx内的平均变化率为xy，如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等．瞬时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限：在经济学中，一个经济函数)(xf的导数)(xf称为该函数的边际函数．)(xf在点0xx处的导数)(0xf称为)(xf在点0xx处的变化率，也称为)(xf在点0xx处的边际函数值．它表示)(xf在点0xx处的变化速度．边际函数xxfxxxfxfxxf)()()()()()()()1(xfxfxf)()1()(xfxfxf现设)(xfy是一个可导的经济函数，于是当x很小时特别地，当1x或1x时，分别给出因此边际函数值)(0xf的经济意义是：经济函数)(xf在点0xx处，当自变量x再增加1个单位时，因变量y的改变量的近似值，或近似于经济函数值)(0xf与)1(0xf之差．但在应用问题中解释边际函数值的具体意义时，常略去“近似”两字．改变量与导数.105xy例1设函数2xy，试求y在5x时的边际函数值．解因为xy2，所以该值表明：当5x时，x改变一个单位(增加或减少一个单位)，y约改变10个单位(增加或减少10个单位)．例题回主视图某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用总额．它由固定成本和可变成本两部分组成．平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本．边际成本是总成本的变化率．边际成本QQCQCC)()()(QCC在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，成本是产量的函数．设总成本函数)(QCC，Q为产量，则平均成本函数为生产Q个单位产品时的边际成本函数为)(0QC称为当产量为0Q时的边际成本．西方经济学家对它的解释是：当生产0Q个单位产品前最后增加的那个单位产品所花费的成本或生产0Q个单位产品后增加的那个单位产品所花费的成本．这两种理解均算正确．平均成本与边际成本解(1)边际成本函数：QC002.040(2)产量为1000件时的边际成本：.601000002.040)1000(C它表示当产量为1000件时，再生产1件产品需要的成本为60元；(3)平均成本：QQQCC001.0409000001.090002QC例2已知生产某产品Q件的成本为2001.0409000QQC(元)，试求：(1)边际成本函数；(2)产量为1000件时的边际成本，并解释其经济意义；(3)产量为多少件时，平均成本最小？令C0，得Q=3000(件)．由于C0，故当产量为3000件时平均成本最小．例题2120011100)(QQCC求：(1)生产900个单位时的总成本和平均成本；(2)生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率；(3)生产900个单位时的边际成本；解(1)生产900个单位时的总成本为1775900120011100)900(2CC平均成本为97.19001775900)900(C(2)生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率为58.1100177519339001000)900()1000(CCQC(3)生产900个单位时的边际成本为5.16001120011100)900(9009002QQQQC例3某工厂生产Q个单位产品的总成本C为产量Q的函数例题回主视图总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入．平均收益是生产者出售一定量产品，平均每单位产品所得到的收入，即单位商品的售价．边际收益为总收益的变化率．总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数．PQQRR)()()(QPQQRR故平均收益函数为)()()()(QPQQQPQQRQRR)()())(()(QPQPQQPQQRR设P为价格，Q为销售量，则总收益函数为：若需求函数为)(QPP，则总收益函数为即价格)(QP可视作从需求量(这里需求量即为销售量)Q上获得的平均收益．边际收益为)(0QR的经济意义为：)(0QR表示销售量为0Q个单位时，多销售一个单位产品或少销售一个单位产品时收益的改变量．边际收益回主视图)()()(QCQRQLL那么边际利润函数为)()()(QCQRQLL520)()(2QQQPQQRR故销售量为15个单位时，有2555151520)15(2R17)()()()15(151515QQQQPQQQPQQRR14155220)(15QQRR总利润是总收益与总成本之差，设总利润为L，则总利润函数为它的经济意义是：)(0QL表示销售量为0Q单位时，再销售一个单位商品时利润的改变量．例4设某产品的需求函数为：520QP其中P为价格，Q为销售量，当销售量为15个单位时，求总收益、平均收益与边际收益；解因为需求函数为520QP，则总收益函数为：边际利润例5某工厂生产一批产品的固定成本为2000元，每增产一吨产品成本增加50元，设该产品的市场需求规律为Q=1100–10P(P为价格)，产销平衡，试求：(1)产量为100吨时的边际利润；(2)产量为多少吨时利润最大？101102QQPQRQC502000200010602QQCRL(1)边际利润为560QL当产量为100吨时，边际利润为40510060)100(L解由于,10110QP故总收入为(2)令0L得Q=300(吨)．由于0L，故当产量为300吨时，利润最大．例题回主视图)()(lim0xfxfxyyxxxyyx0xxyx)()(xfxfxyx前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率．在实际问题中，有时仅知道函数)(xfy的改变量y及绝对改变率)(xf是不够的．例如，设有A和B两种商品，其单价分别为10元和100元．同时提价1元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为10%和1%．前者是后者的10倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性．它定量地反映了一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数．定义设函数)(xfy在点x处可导，且()0yfx．函数的相对改变量yy与自变量的相对改变量xx之比当0x时的极限称为函数)(xfy在点x处的弹性，记作函数的弹性的表达式可改写为yx平均函数边际函数xydxdyyx故在经济学中，弹性又可解释为边际函数与平均函数之比．)(PfQ函数在点x的弹性yx反映了)(xf对x的变化反映的强烈程度或灵敏度．在经济学的常用到需求弹性．“需求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量．设P表示商品价格，Q表示需求量，那么需求函数：一般说来，商品价格低，需求大；商品价格高，需求小．因此，一般需求函数)(PfQ是单调减少函数．需求函数)(PfQ的边际函数)(PfQ称为边际需求．需求弹性是刻划商品价格变动时需求变动的强弱．函数弹性由定义还可见，函数的弹性与量纲无关，即与各有关变量的计量单位无关．这使得弹性概念在经济中具有广泛应用．例如，显然各种商品的计量单位不尽相同，但比较不同商品的需求弹性并不受到计量单位的限制．由定义知，当%1xx时，%yxyy．可见，函数)(xfy的弹性具有下述意义：函数)(xfy在点0x处的弹性0xxyx表示在点0x处当x改变1%时，函数)(xfy在)(0xf的水平上近似改变%0xxyx．函数弹性的意义回主视图.55155PePePPQP.6.053)3(QP.155)5(QP.2.156)6(QP例6设某商品需求函数为5PeQ，求：(1)需求弹性函数；(2)3P，5P，6P时的需求弹性,并说明其经济意义.解(1)由已知有551PeQ，则1)5(QP，说明当5P时，价格上升1%，需求量则下降1%．可见此时价格与需求变动的幅度相同；6.0)3(QP，说明当3P时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，此时需求变动的幅度小于价格变动的幅度；2.1)6(QP，说明当6P时，价格上涨1%，需求减少1.2%．此时需求变动的幅度大于价格变动的幅度．例题回主视图)()()()(212121xfxfxfxfxfxfyx证明按弹性定义有)()()]()([2121xfxfxfxfxyxyyx)()()()()()()()(21222111xfxfxfxfxxfxfxfxxf)()()()(212121xfxfxfxfxfxf(1)设)(1xf与)(2xf于x处的弹性为xf1与xf2，则)()(21xfxf在x处的弹性为弹性四则运算niinixfiyxxfxfi11)()(xfxfyx21证明按弹性定义有)()()]()()()([212121xfxfxxfxfxfxfyxyyx)()()()(2211xfxxfxfxxfxfxf21即函数的乘积的弹性等于各自弹性的和．推论设)(xfi在x处的弹性为),,2,1(nixfi，则niixfy1)(在x处的弹性为(2)设)(1xf与)(2xf于x处的弹性为xf1与xf2，则)()(21xfxfy在x处的弹性为弹性运算xfxfyx21解(1)按弹性定义有2021021PPPPQQPQP1733PQP18.0(3)由于总收益2102PPPQRPPPPPPRPdPdRRP20)10(2210)10(282.020)10(233PPRPPP(3)设)(1xf与)(2xf于x处的弹性为xf1与xf2，则)()(21xfxfy在x处的弹性为例7某商品需求函数为210PQ，求：(1)需求价格弹性函数；(2)当3P时的需求价格弹性；(3)在3P时，若价格上涨%1，其总收益是增加，还是减少？它将变化百分之几？(2)当3P时的需求价格弹性为故在3P时，若价格上涨%1，需求仅减少0018.0,总收益将增加,总收益约增加%82.0．例题回主视图