第十七章_勾股定理教案

第十七章勾股定理单元备课本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用.首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题.在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念.全章分为两节：17.1勾股定理.本节教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理，并明确命题1就是勾股定理。之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题（画出长度是无理数的线段等）中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。17.2勾股定理的逆定理.本节研究勾股定理的逆定理，教科书从古埃及人画直角的方法说起，给出如果一个三角形的三边满足+=，那么这个三角形是直角三角形的结论，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，探索这些三角形的形状，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而猜想如果三角形的三边满足这种关系，那么这个三角形是直角三角形，这样就探索得出了勾股定理的逆定理.此时这个逆定理是以命题2的方式给出的，教科书通过对照命题1和命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题的概念.命题2是否正确，需要证明，教科书利用全等三角形证明了命题2，得到勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这在数学和实际中有着广泛应用，教科书通过两个例题，让学生学会运用这种方法解决问题.本章学习目标：1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3、通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，它是几何中几个最重要的定理之一，揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大.它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用.课时分配：本章教学时间约需9课时，具体安排如下（仅供参考）：17．1勾股定理4课时17．2勾股定理的逆定理3课时数学活动，小结2课时17.1勾股定理（1）教学目标知识与技能目标：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.[来过程与方法目标：通过观察、归纳、猜想和验证勾股定理，体验由特殊到一般的探索数学问题的方法和数形结合的思想.情感与价值目标：1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情.2．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育.教学重难点：重点：探索和证明勾股定理.难点：用拼图的方法证明勾股定理.教学过程：一、创设情境引入课题1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，这就是当时采用的会徽.你知道这个图案的名字吗？你知道它的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.请同学们也观察一下，看看能发现什么？(1)引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；(2)引导学生把面积的关系转化为边的关系.结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.二、探究勾股定理3、等腰直角三角形有上述性质，其它直角三角形也有这个性质吗？（书P23探究）追问正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？问题：通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．C'B'A'CBAabcccbaCAB勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2（或a2＋b2＝c2）介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，并指出勾股定理只适用于直角三角形；三、感受数学文化这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（黄色）．勾股定理在数学发展中起到了重大的作用，其证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究，或到网上查阅勾股定理的相关资料．四、初步应用定理练习1求图中字母所代表的正方形的面积．练习2如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12．求最大正方形E的面积．通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一棵美丽的勾股树．练习3求下列直角三角形中未知边的长度．五、课堂小结（1）勾股定理的内容是什么？它有什么作用？（2）在探究勾股定理的过程中，我们经历了怎样的探究过程？六、课后作业1．整理课堂中所提到的勾股定理的证明方法；2．通过上网等查找有关勾股定理的有关史料、趣事及其他证明方法．17.1勾股定理（2）教学目标知识与技能目标：1、利用勾股定理解决实际问题.[2、从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想和方程思想.[来过程与方法目标：运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题.情感与价值目标：1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值.教学重难点：重点：勾股定理的应用．难点：勾股定理在实际生活中的应用．教学过程：一、创设情境引入课题复习提问1、勾股定理？应用条件？2、证明方法？（面积法）3、在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC的长．答：AC的长为m5．二、新课例1、一个门框的尺寸如图所示：(1)若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，能否从门框内通过？(2)若有一块长3米，宽1.5米的薄木板，能否从门框内通过？(3)若有一块长3米，宽2.2米的薄木板，能否从门框内通过？分析：(3)木板的宽2.2米大于1米，所以横着不能从门框内通过．木板的宽2.2米大于2米，所以竖着不能从门框内通过．因为对角线AC的长度最大，所以只能试试斜着能否通过．所以将实际问题转化为数学问题．∴木板能从门框内通过（书上P67填空）小结：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出Rt△ABC，并求出斜边AC的长.例2、如图，一个2.6米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.4米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数）分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB问题如果知道平面直角坐标系坐标轴上任意两点的坐标为（x，0），（0，y），你能求这两点之间的距离吗？三、拓展提高形成技能今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，分析：可设AB=x,则AC=x+1，有AB2+BC2=AC2，可列方程，得x2+52=，通过解方程可得．BCDA2m1mBCDA2m1mOBCAD利用勾股定理解决实际问题的一般思路：（1）重视对实际问题题意的正确理解；（2）建立对应的数学模型，运用相应的数学知识；（3）方程思想在本题中的运用．四、巩固练习如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？五、课堂小结（1）利用勾股定理解决实际问题有哪些基本步骤？（2）你觉得解决实际问题的难点在哪里？你有什么好的突破办法？利用勾股定理解决实际问题的注意点是什么？请与大家交流．（3）本节课体现出哪些数学思想方法，都在什么情况下运用？六、课后作业作业：教科书第26页第1，2题．17.1勾股定理（3）教学目标知识与技能目标：1、会在数轴上表示n（n为正整数）.[2、利用勾股定理解决数学问题，进一步渗透方程思想和数形结合思想.过程与方法目标：运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题.情感与价值目标：1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值.教学重难点：重点：勾股定理的应用．难点：利用勾股定理建立方程.教学过程：一、证明“HL”问题1在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？已知：如图，在Rt△ABC和Rt△中，∠C=∠C=90°，AB=，AC=．求证：△ABC≌△．证明：在Rt△ABC和Rt△中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理，得BC=二、画图提高问题2我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？练习1教科书第27页练习1．三、类比迁移“数学海螺”四、应用提高例如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．求证：AD2+DB2=DE2．练习2教科书第27页练习2．五、课堂小结（1）勾股定理有哪些方面的应用，本节课学习了勾股定理哪几方面的应用？（2）你能说说勾股定理求线段长的基本思路吗？（3）本节课体现出哪些数学思想方法？六、课后作业作业：教科书第27页第1，2题．17.1勾股定理（4）教学目标知识与技能目标：利用勾股定理解决数学问题，进一步渗透方程思想和数形结合思想.过程与方法目标：运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题.情感与价值目标：1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值.教学重难点：重点：勾股定理的应用．难点：利用勾股定理建立方程.教学过程：一、复习提问1、直角三角形的性质：(1)直角三角形两锐角互余.(2)斜边大于直角边.(3)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边一半.(4)勾股定理2、在数轴上画出表示n（n为正整数）的点的方法.二、新课例1、(1)已知直角三角形有一个锐角为30°，求这个直角三角形三边的比值.(2)已知等腰直角三角形，求其三边的比值.（此题让学生练习）CAB30CAB45例2、某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东30°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮助小明计算A、B之间的距离是多少？（只分析，不板书）例3、△ABC中，AB=AC=4，点P在BC边上运动，猜想PCPBAP2的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想.结论：不变例4、已知：如图，AB=AC=20，BC=32，∠DAC=90°，求BD的长.小结：通过添加辅助线，构造直角三角形，利用方程思想和勾股定理求边长.由于在不同的Rt△中用勾股定理，故要分清每个Rt△中的直角边，斜边，正确使用勾股定理.三、课堂练习1、如图：∠C=90°，图中有阴影的三个正方形的面积S1，S2，S3有什么关系？2、如图：∠C=90°，图中有阴影的三个半圆的面积S1，S2，S3有什么关系？（P71/11）3、如图：∠C=90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为20.（P71/12）4、直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3