数学人教版九年级下册解三角函数.2.2解直角三角形

28.2解直角三角形及其应用2.2应用举例方法小结：1.已知两边，先求一角，再求另一角，最后求第三边。2.已知一角一边，先求一角，再求另一边，最后求第三边定理选用：1.首选“直角三角形中，30º的对边=斜边的一半”。2.三角函数。3.勾股定理。解直角三角形例1．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子顶端沿墙面升高了m．ABA’B’O解：22AO∴214AOsin45∵o32OA∴234OA'sin60∵o’)23(22232AA'∴小结：已知角的对边求斜边，用正弦。练习：1.如图，飞机于空中A处探测地面目标B，此时从飞机看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为解：2400AB∴21AB1200sin30∵o小结：已知角的对边求斜边，用正弦。练习：2.在坡角为30°的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是解：34AB∴326ABcos30∵o小结：已知角的邻边求斜边，用余弦。例2如图，一艘海监船位于灯塔P南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P北偏东30°方向上的B处．（1）在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是海里。（2）在这段时间内，海监船航行了多少海里？解：2502100PCAC∴21100PCcos45∵o650250AB∴650BC∴13250BCtan60∵o小结：已知角的对边求邻边，用正切。练习：1.上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B与M的距离为c解：作BD⊥AM于D230DB∴2260DBsin45∵o220BM∴30∠M∵o小结：无直角时，作垂线构造直角。练习：2.如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于A北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为12海里．求A、C两地之间的距离。D解：26BDAD∴2112sin45∴12AB,45∠BAD∵ooBD66CD∴3126tan30∵oCD2666CA∴小结：在形内作垂线无用时，可在形外作垂线。解直角三角形的应用解题方法：有斜用弦，无斜用切，宁乘毋除，取原避中。解题技巧：1.无直角时，作垂线构造直角三角形。2.在形内作垂线无用时，可在形外作垂线。解题过程：1.将实际问题转化为数学问题。2.根据问题中的条件选用方法。再见再见解决有关比萨斜塔倾斜的问题．设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m0954.05.542.5sinABBCA所以∠A≈5°28′ABC六个元素三边两个锐角一个直角（已知）五个定义：由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫.解直角三角形ABCabc(1)三边之间的关系：BCabcA(2)锐角之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)∠A＋∠B＝90°(3)边角之间的关系：sinA=cosA=tanA=利用以上的关系式，只要知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。cacbba教学例题1.Rt△ABC中，∠C=90º,AB=,BC=解直角三角形。6363解：∵cosB=222163∠∴∴∠B=45º∴∠A=45º∴AC=AB=3新人教版九年级数学(下册)第二十八章28.2解直角三角形（1）复习30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana1222322212332331当α是锐角时，对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正）对于cosα，角度越大，函数值越小。问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？这样的问题怎么解决问题（1）可以归结为：在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m。ABBCAsin75sin6sinAABBC所以BC≈6×0.97≈5.8由计算器求得sin75°≈0.97由得ABαC对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数由于4.064.2cosABACa利用计算器求得a≈66°因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66°由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．ABCα在图中的Rt△ABC中，（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？探究ABCα能90909075ABBA6=75°在图中的Rt△ABC中，（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？探究222222262.45.5ABACBCBCABAC2.4coscos0.4666ACAAAAB9090906624ABBAABCα能62.4事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．ABabcC解直角三角形:由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知未知元素的过程．解直角三角形1、在下列直角三角形中不能求解的是（）A、已知一直角边一锐角B、已知一斜边一锐角C、已知两边D、已知两角D（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbAA斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tan（1）三边之间的关系222cba（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到哪些关系呢？例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，解这个直角三角形6,2BCAC解：326tanACBCA60A30609090AB222ACABABC26例2如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°abBtan6.2870.02035tan20tanBbacbBsin1.3557.02035sin20sinBbcABCabc2035°你还有其他方法求出c吗？尽量选择原始数据,避免累积错误在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（1）a=30,b=20;(2)∠B＝72°，c=14.练习ABCb=20a=30cABCbac=1472°解决有关比萨斜塔倾斜的问题．设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m0954.05.542.5sinABBCA所以∠A≈5°28′可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？ABC（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系：caAA斜边的对边sincbAA斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tan（1）三边之间的关系：222cba（勾股定理）ABabcC小结在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：书面作业：教科书P92习题28.2复习巩固第1、2题(必做题)探究作业：如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高.（AB的长）例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分线，解这个直角三角形。43ADDABC643解：63cos243ACCADAD30CAD因为AD平分∠BAC60,30CABB12,63ABBC