高阶线性微分方程

第七章高阶线性微分方程一.二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxo解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.机动目录上页下页返回结束阻力据牛顿第二定律得,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程:0dd2dd222xktxntx(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力作用，tpHFsin，令mhH则得强迫振动方程:tphxktxntxsindd2dd222机动目录上页下页返回结束n阶线性微分方程的一般形式为为二阶线性微分方程.,)()()(tfxtqxtpx具有如下形式的方程:)()()()(1)1(1)(tfxtaxtaxtaxnnnn时,称为非齐次方程;0)(tf时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解齐次方程通解Yy0)(tf机动目录上页下页返回结束])[(11xCtP][)(11xCtQ0二、线性齐次方程解的结构)(),(21txtx若函数是二阶线性齐次方程0)()(xtqxtpx的两个解,也是该方程的解.证:)()(2211txCtxCx将代入方程左边,得][11xC22xC22xC22xC])()([1111xtqxtpxC])()([2222xtqxtpxC(叠加原理))()(2211txCtxCx则机动目录上页下页返回结束说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1tx是某二阶齐次方程的解,)(2)(12txtx也是齐次方程的解)()2()()(1212211txCCtxCtxC并不是通解但是)()(2211txCtxCx则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.机动目录上页下页返回结束)(,),(),(21txtxtxn设是定义在区间I上的n个函数,使得Ittxktxktxknn,0)()()(2211则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，,sin,cos,122tt在(,)上都有0sincos122tt故它们在任何区间I上都线性相关;又如，,,,12tt若在某区间I上,02321tktkk则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见2,,1tt故在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数机动目录上页下页返回结束线性无关判别法：0)()()()()()()()()()(0)1()1(2)1(121210ttnnnnnntxtxtxtxtxtxtxtxtxtw)(,)(),(21txtxtxn在区间I上线性无关It0两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:)(),(21txtx线性相关存在不全为0的使0)()(2211txktxkkkktxtx1221)()((无妨设)01k线性无关)()(21txtx常数0)()()()(2121txtxtxtx线性无关例如,方程0xx有特解,cos1tx,sin2tx且常数,故方程的通解为tCtCxsincos21nxxx,,,21若是n阶齐次方程0)()()(1)1(1)(xtaxtaxtaxnnnn的n个线性无关解,则方程的通解为)(11为任意常数knnCxCxCxtxxtan12)(),(21txtx若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则)()(2211txCtxCx数)是该方程的通解.结论：三、线性非齐次方程解的结构)(*tx设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(txtXxX(t)是相应齐次方程的通解,)()()(tfxtqxtpx则是非齐次方程的通解.这是因为：)(*)(txtXx代入方程,得)(*)(txtX))(*)(()(txtXtP)*)(*)(*(xtqxtpx))()((XtqXtpX)(0)(tftf))(*)(()(txtXtQ复习目录上页下页返回结束例如,方程xyy有特解xCxCYsincos21对应齐次方程0yy有通解因此该方程的通解为机动目录上页下页返回结束),,2,1()(nktxk设分别是方程的特解,是方程),,2,1()()()(nktfxtQxtPxknkkxx1则nkktfxtQxtPx1)()()(的特解.(非齐次方程解的叠加原理)上述均可推广到n阶线性非齐次方程.机动目录上页下页返回结束常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的解,21,CC是任意;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCCD例.提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89考研)机动目录上页下页返回结束例.已知微分方程)()()(xfyxqyxpy个解,,,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解:1312yyyy与是对应齐次方程的解,且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关,故原方程通解为)()(221xeCxeCyxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxeey故所求特解为有三机动目录上页下页返回结束四.二阶常系数线性齐次微分方程:120xaxax待定）(tex代入得212()0taae2120aa称为微分方程的特征方程,令方程的解为其根称为特征根.机动目录上页下页返回结束例.032yyy求方程的通解.解:特征方程,0322特征根:,3,121因此原方程的通解为1.当21240aa时,特征方程有两个相异实根,21,方程有两个线性无关的特解:,11tex,22tex因此方程的通解为tteCeCx2121则微分2.当21240aa时,特征方程有两个相等实根21则微分方程有一个特解)(12tuxx设另一特解(u(t)待定)代入方程得:[1te11()auu20au)2(211uuu1注意是特征方程的重根0u取u=t,则得,12tetx因此原方程的通解为tetCCx1)(2112,a.11tex)(1tuet0)()2(2112111uaauau机动目录上页下页返回结束例.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解:特征方程0122有重根,121因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为22C机动目录上页下页返回结束3.当04221aa时,特征方程有一对共轭复根ii21,这时原方程有两个复数解:tiex)(1)sin(costitettiex)(2)sin(costitet利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:)(21211xxx)(21212xxxitetcostetsin因此原方程的通解为)sincos(21tCtCext机动目录上页下页返回结束例..0yy解方程解:特征方程:012012即特征根为,2,1i则方程通解:机动目录上页下页返回结束二阶常系数齐次线性微分方程:120xaxax2120aa称为微分方程的特征方程,1.当特征方程有两个相异实根,21,方程的通解为tteCeCx2121其根称为特征根.2.当特征方程有两个相等实根2112,a方程的通解为tetCCx1)(213.当特征方程有一对共轭复根ii21,方程的通解为)sincos(21tCtCext若特征方程含k重复根,i若特征方程含k重实根λ,则其通解中必含对应项tkketCtCC)(121ttCtCCekktcos)([121]sin)(121ttDtDDkk则其通解中必含对应项)(01)1(1)(均为常数knnnnaxaxaxax特征方程:0111nnnnaaa推广:机动目录上页下页返回结束例..0)4()5(yy解方程解:特征方程:,045特征根:1,054321原方程通解:1CytC223tC34tCteC5(不难看出,原方程有特解),,,,,132且线性无关tettt推广目录上页下页返回结束例..02)4(yyy解方程解:特征方程:012240)1(22即特征根为,2,1ii4,3则方程通解:机动目录上页下页返回结束例.052)4(xxx求方程的通解.解:特征方程,052234特征根:i21,04,321因此原方程通解为tCCx21)2sin2cos(43tCtCet12()xaxaxFt),(21为常数aa五.二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Xx*x非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据F(t)的特殊形式,*x给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.—待定系数法机动目录上页下页返回结束)([xQex)()2(xQp])()(2xQqp)(xPemx1、()()tmFtet型μ为实数,()mt设特解为,)(*tZext其中为待定多项式,)(tZ])()([*tZtZext])()(2)([*2tZtZtZext代入原方程,得)(tZ(1)若μ不是特征方程的根,2120,aa即则取),(tZm从而得到特解形式为.)(*tZexmt1(2)()aZx212()()aaZt()mt为m次多项式.Z(x)为m次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束(2)若μ是特征方程的单根,2120,aa120,a)(tZ则为m次多项式,故特解形式为tmetZtx)(*(3)若μ是特征方程的重根,2120,aa120,a)(xZ则是m次多项式,故特解形式为tmetZtx)(*2推广：对n阶方程,)2,1,0()(*ketZtxtmk)(tZ1(2)()aZt)(tm212()()aaZt即即当μ是特征方程的k重根时,可设特解机动目录上页下页返回结束例.1332txxx求方程的一个特解.解:不是特征方程为0322的根.设所求特解为,*10btbx代入方程:13233010tbbtb比较系数,得330b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*tx,0机动目录上页下页返回结束例.xexyyy265求方程的通解.解:本题特征方程为,0652其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxb