数值分析ppt第8章_矩阵特征值问题计算1

上页下页第8章矩阵特征问题的计算•8.1引言•8.2幂法及反幂法•8.3豪斯霍尔德方法•8.4QR方法上页下页8.1引言工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题.下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础知识.上页下页定义1⑴已知n阶矩阵A=(aij)，则)2()(det)det()(12211212222111211的项次数naaaaaaaaaaaaAInnnnnnnnnn称为A的特征多项式.一般有n个根(实的或复的，复根按重数计算)称为A的特征值.用λ(A)表示A的所有特征值的集合.A的特征方程)1.1(0)det()(AI上页下页⑵设λ为A的特征值，相应的齐次方程组注：当A为实矩阵时，(λ)=0为实系数n次代数方程，其复根是共轭成对出现.)2.1(0)(xAI的非零解x称为矩阵A的对应于λ的特征向量.210131012A例1求A的特征值及特征向量，其中上页下页.0)4)(2)(1(8147210131012)det()(23AI解矩阵A的特征方程为求得矩阵A的特征值为：.4,2,1对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：.121,101,111321xxx上页下页定理1设λ为A∈Rn×n的特征值,且Ax=λx(x0)，则有⑵λ-p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(λ-p)x；⑴cλ为的cA特征值(c≠0为常数)；下面叙述有关特征值的一些结论：⑶λk为Ak的特征值，即Akx=λkx；⑷设A为非奇异矩阵，那么λ≠0,且λ-1为A-1的特征值，即A-1x=λ-1x.上页下页定理2设λi(i=1,2,,n)为n阶矩阵A=(aij)的特征值，则有)(Atraniiinii11⑴称为A的迹；⑵.nA21定理3设A∈Rn×n，则有.)()(AAT定理4设A为分块上三角矩阵，即,mmmmAAAAAAA22211211其中每个对角块Aii均为方阵，则.)()(iiniAA1上页下页定理5设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵P使B=P-1AP），则定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征值不变.一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难.⑴A与B有相同的特征值；⑵如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量.定义2如果实矩阵A有一个重数为k的特征值λ,且对应于λ的A的线性无关的特征向量个数k，则A称为亏损矩阵.上页下页定理6⑴A∈Rn×n可对角化，即存在非奇异矩阵P使的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量.⑵如果A∈Rn×n有m个(m≤n)不同的特征值λ1,λ2,,λm，则对应的特征向量x1,x2,,xm线性无关.,nAPP211上页下页定理7(对称矩阵的正交约化)设A∈Rn×n为对称矩阵，则⑶存在一个正交矩阵P使的且λ1,λ2,,λn为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un)列向量uj为A的对应于λj的单位特征向量.,nTAPP21⑴A的特征值均为实数；⑵A有n个线性无关的特征向量；上页下页定义3设n阶矩阵A=(aij)，令下面讨论矩阵特征值界的估计.).,,(niarnijjiji211⑴；⑵集合称为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n个Gerschgorin圆盘.),,,(,|niCzrazzDiiii21上页下页定理8(Gerschgorin圆盘定理)特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值.).,,(niaranijjijiii211⑴设n阶矩阵A＝(aij)，则A的每一个特征值必属于下面某个圆盘之中⑵如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且S与余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个特征值.或者说A的特征值都在n个圆盘的并集中.上页下页证明只就⑴给出证明.设λ为A的特征值，即.1knkjjkjkkraaAx=λx，其中x=(x1,x2,,xn)T0.或记，考虑Ax=λx的第k个方程，即0max1xxxinik,1knjjkjxxa,)(kjjkjkkkxaxa于是即,kjkjkkjjkjkkkaxxaxa上页下页这说明，A的每一个特征值必位于A的一个圆盘中，并且相应的特征值λ一定位于第k个圆盘中(其中k是对应特征向量x绝对值最大的分量的下标).利用相似矩阵性质，有时可以获得A的特征值进一步的估计，即适当选取非奇异对角阵,112111nD并做相似变换.适当选取可使某些圆盘半径及连通性发生变化.nnijijaADD1),,2,1(nii上页下页.411101014A例2估计矩阵A的特征值范围，其中解矩阵A的3个圆盘为.24:,2:,14:321DDD由定理8，可知A的3个特征值位于3个圆盘的并集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一个特征值λ1(为实特征值)，即.531A的其它两个特征值λ2,λ3包含在D2,D3的并集中.上页下页现在取对角阵,9.0000100011D做相似变换.49.09.00101491011ADDAA矩阵A1的3个圆盘为.8.14:,919:,14:321EEE上页下页显然，3个圆盘都是孤立圆盘，所以，每一个圆盘都包含A的一个特征值(为实特征值)，且有估计.2.28.5,919919,53321上页下页当A为实矩阵，如果限制用正交相似变换，由于A有复的特征值，A不能用正交相似变换约化为上三角阵.用正交相似变换能约化到什么程度呢？定理9(Schur定理)设A∈Rn×n，则存在酉矩阵U使其中rii(i=1,2,,n)为A的特征值.下面给出理论上有关通过酉相似变换及正交变换可以约化一般矩阵A到什么程度的问题.),(22211211上三角阵RrrrrrrAUUnnnnH上页下页其中Rii(i=1,2,,m)为一阶或二阶方阵，且每个一阶Rii是A的实特征值，每个二阶对角块Rii的两个特征值是A的两个共轭复特征值.定理10(实Schur分解)设A∈Rn×n，则存在正交矩阵Q使,22211211mmmmTRRRRRRAQQ上页下页定义4设A∈Rn×n为对称矩阵，对于任一非零向量x，称,),(),()(xxxAxxR我们转向实Schur型的实际计算.为对应于向量x的瑞利(Rayleigh)商.定理11设A∈Rn×n为对称矩阵(其特征值次序记为λ1≥λ2≥≥λn)，则1.(对任何非零x∈Rn)；1),(),(xxxAxn2.；),(),(maxxxxAxxRxn013..),(),(minxxxAxxRxnn0上页下页证明只证1，关于2,3自己作练习.由于A为实对称矩阵，可将λ1,λ2,,λn对应的特征向量x1,x2,,xn正交规范化，则有(xi,xj)=δij，设x0为Rn中任一向量，则有.0,1221niiniiixxx于是.),(),(11212niiniiinxxxAx从而1成立.结论1说明瑞利商必位于λn和λ1之间.上页下页关于计算矩阵A的特征值问题，当n＝2,3时，我们还可按行列式展开的办法求(λ)=0的根.但当n较大时，如果按展开行列式的办法，首先求出(λ)的系数，再求(λ)的根，工作量就非常大，用这种办法求矩阵的特征值是不切实际的，由此需要研究求A的特征值及特征向量的数值解法.本章将介绍一些计算机上常用的两类方法，一类是幂法及反幂法（迭代法），另一类是正交相似变换的方法（变换法）.上页下页幂法与反幂法都是求实矩阵的特征值和特征向量的向量迭代法，所不同的是幂法是计算矩阵的主特征值(矩阵按模最大的特征值称为主特征值，其模就是该矩阵的谱半径)和相应特征向量的一种向量迭代法，而反幂法则是计算非奇异(可逆)矩阵按模最小的特征值和相应特征向量的一种向量迭代法.下面分别介绍幂法与反幂法.8.2幂法及反幂法上页下页现讨论求λ1及x1的方法.),,2,1(nixAxiii设实矩阵A=(aij)有一个完全的特征向量组，即A有n个线性无关的特征向量，设矩阵A的特征值为λ1,λ2,,λn,相应的特征向量为x1,x2,,xn.已知A的主特征值λ1是实根，且满足条件)1.2(|,|||||21n8.2.1幂法（又称乘幂法）上页下页)3.2(),0(122110axaxaxavnn设幂法的基本思想是:任取非零的初始向量v0,由矩阵A构造一向量序列{vk}称为迭代向量，由假设，v0可唯一表示为)2.2(.........................,......................,,011021201vAAvvvAAvvAvvkkk上页下页)3.2(),0(122110axaxaxavnn设于是).()/(1112111122211101kkniikiiknknnkkkkkxaxaxaxaxaxavAAvv其中.)/(21niikiikxa由假设故从而),,,3,2(1/1nii,0limkk)4.2(.lim111xavkkk为λ1的特征向量.上页下页所以当k充分大时，有)5.2(,111xavkk即为矩阵A的对应特征值1的一个近似特征向量.用(vk)i表示vk的第i个分量，则当k充分大时，有)7.2(.11ikikvv即为A的主特征值1的近似值.)6.2(,111111kkkkvxaAvv由于这种由已知非零向量v0及矩阵A的乘幂Ak构造向量序列{vk}以计算A的主特征值1(2.7)及相应特征向量(2.5)的方法就称为幂法.上页下页迭代公式实质上是由矩阵A的乘幂Ak与非零向量v0相乘来构造向量序列{vk}={Akv0}，从而计算主特征值λ1及其对应的特征向量，这就是幂法的思想.).(11kvvikik的收敛速度由比值,12r来确定，r越小收敛越快，但当r≈1时收敛可能很慢.上页下页定理12设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量，主特征值λ1满足条件|λ1||λ2|≥≥|λn|，则对任何非零向量v0(a10)，幂法的算式成立.又设A有n个线性无关的特征向量，λ1对应的r个线性无关的特征向量为x1,x2,,xr，则由(2.2)式有如果A的主特征值为实的重根,即λ1=λ2==λr,且|λr||λr+1|≥≥|λn|，,)/(11110nriikiiriiikkkxaxavAv上页下页).0(lim111riiiriiikkkxaxav设为A的特征向量，这说明当A的主特征值是实的重根时，定理12的结论还是正确的.应用幂法计算A的主特征值λ1及其对应的特征向量时，如果|λ1|1(或|λ1|1)，迭代向量vk的各个不等于零的分量将随k→∞而趋向于无