偏导数在几何上的应用

偏导数在几何中的应用首页上页返回下页结束btatzztyytxxC),(),(),(:1.参数方程:.,)()()()(btaktzjtyitxtr空间曲线的表示与光滑曲线其向量形式:为所确定的空间曲线由则称有上连续且对在定义：若Ctrtrbatbaktzjtyitxtr)(,0)(],[],[)()()()(光滑曲线.回顾及定义首页上页返回下页结束0),,(0),,(zyxGzyxF空间曲线的一般方程相应光滑性要求其Jacobi矩阵是满秩的.xozy1S2SC空间曲线C可看作空间两曲面的交线.2、空间曲线的一般方程zyxzyxGGGFFFJacobi矩阵：首页上页返回下页结束.121121121zzzzyyyyxxxx直线的两点式方程pzznyymxx000直线的对称式方程点向式方程标准方程0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程首页上页返回下页结束0)()()(000zzCyyBxxA平面的点法式方程其中法矢量},,,{CBAn已知点).,,(000zyx0DCzByAx平面的一般方程1czbyax平面的截距式方程0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx平面的三点式方程首页上页返回下页结束设空间曲线的方程光滑,bta,)t(zz)t(yy)t(xxozyx一、空间曲线的切线与法平面M.),,(0000tttzzyyxxM对应于;),,,(0000ttzyxM对应于设M首页上页返回下页结束考察割线趋近于极限位置——切线的过程zzzyyyxxx000ttt上式分母同除以,tozyxMM割线的方程为MM,000zzzyyyxxx首页上页返回下页结束,0,时即当tMM曲线在M处的切线方程.)()()(000000tzzztyyytxxx切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.)(),(),()(0000tztytxtr法平面：过M点且与切线垂直的平面.0))(())(())((000000zztzyytyxxtx首页上页返回下页结束例1求曲线:tuuduex0cos，tysin2tcos,tez31在0t处的切线和法平面方程.解当0t时，,2,1,0zyx,costext,sincos2tty,33tez,1)0(x,2)0(y,3)0(z切线方程,322110zyx法平面方程,0)2(3)1(2zyx.0832zyx即首页上页返回下页结束1.空间曲线方程为,)()(xgzxfy,),,(000处在zyxM,)()(100000xgzzxfyyxx.0))(())(()(00000zzxgyyxfxx法平面方程为切线方程为特殊地：xx首页上页返回下页结束2.空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx法平面方程为.0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy000,,yxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFF切向量implicit满秩zyxzyxGGGFFF首页上页返回下页结束另一方面,注意到)}(),(),({)()},(),(),({)(00000000pGpGpGpgradGpFpFpFpgradFzyxzyx)2(0)()(00JrankpgradGpgradF)(),(00pgradGpgradF定理曲线0),,(0),,(zyxGzyxF在点的法平面就是由梯度向量gradF()和gradG()张成的过的平面.0p0p0p0p首页上页返回下页结束例2求曲线6222zyx，0zyx在点)1,2,1(处的切线及法平面方程.解1直接利用公式;解2将所给方程的两边对x求导并移项，得1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy,zyyxdxdz首页上页返回下页结束由此得切向量},1,0,1{所求切线方程为,110211zyx法平面方程为,0)1()2(0)1(zyx0zx,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz首页上页返回下页结束例2求曲线6222zyx，0zyx在点)1,2,1(处的切线及法平面方程.解3利用梯度.则记,,6222zyxGzyxF}.1,1,1{)1,2,1(},2,4,2{)1,2,1(gradGgradF由此得切向量}.6,0,6{}1,1,1{}2,4,2{.2}.101{同余下与解，，从而可取首页上页返回下页结束动点从A点出发，经过t时间，运动到M点例3如果空间一点M在圆柱面222ayx上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中、v都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．AMMM在xoy面的投影)0,,(yxMtaxcostaysinvtzt螺旋线的参数方程取时间t为参数，解xyzo首页上页返回下页结束螺旋线的参数方程还可以写为bzayaxsincos),(vbt螺旋线的重要性质：,:00,:00bbbz上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度bh2螺距,2首页上页返回下页结束设曲面方程为0),,(zyxF二、曲面的切平面与法线,0222zyxFFFn0P其中F在D上有连续偏导数，且满足即曲面S是光滑的.考察曲面S过点的任意一条光滑曲线)z,y,x(P0000).t(zz),t(yy),t(xx),t(zz),t(yy),t(xx:000000并设S首页上页返回下页结束)}P(F),P(F),P(F{nzyx000此表明曲面S上过的任一光滑曲线Γ在点的切线都与向量垂直，所以这些切线都在一张平面π上.平面π称为曲面S在点的切平面，它的法向量称为S在点的法向量.由于曲线在曲面S上,因此.))t(z),t(y),t(x(F0.)t(z)P(F)t(y)P(F)t(x)P(Ftttzyx00000000求导，有在对0P0P0P0Pn曲面在处的法向量:0P)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFnzyx首页上页返回下页结束法线方程为),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx切平面方程为0000000)zz)(P(F)yy)(P(F)xx)(P(Fzyx通过点)z,y,x(P0000而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.首页上页返回下页结束特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz曲面在处的切平面方程为,))(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx曲面在处的法线方程为.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,),(),,(zyxfzyxF令0P0P}),y,x(f),y,x(f{nyx10000首页上页返回下页结束))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00yxyxfz因为曲面在处的切平面方程为全微分的几何意义),(yxfz在),(00yx的全微分，表示曲面),(yxfz在点),,(000zyx处的切平面上的点的竖坐标的增量.0P首页上页返回下页结束例4求旋转抛物面122yxz在点)4,1,2(处的切平面及法线方程.解,1),(22yxyxf)4,1,2()4,1,2(}1,2,2{yxn},1,2,4{切平面方程为,0)4()1(2)2(4zyx,0624zyx法线方程为.142142zyx首页上页返回下页结束例5求曲面32xyezz在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.解,32),,(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF令切平面方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4zyx,042yx.001221zyx首页上页返回下页结束例6求曲面2132222zyx平行于平面064zyx的各切平面方程.解设为曲面上的切点,),,(000zyx切平面方程为0)(6)(4)(2000000zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx.2000zyx首页上页返回下页结束因为是曲面上的切点，),,(000zyx,10x所求切点为满足方程),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx切平面方程(1)切平面方程(2)首页上页返回下页结束.DzzyyxxJJacobi.RD)v,u(),v,u(zz),v,u(yy),v,u(xx:Svuvuvu上恒为满秩的在矩阵且假设相应偏导数连续，参数形式：曲面方程也可以表示为2首页上页返回下页结束S在点的法向量2RD)v,u(),v,u(zz),v,u(yy),v,u(xx:S.|)v,u()y,x(,|)v,u()x,z(,|)v,u()z,y(n)v,u()v,u()v,u(0000000P0)(|),(),()(|),(),()(|),(),(0),(0),(0),(000000zzvuyxyyvuxzxxvuzyvuvuvu.|)v,u()y,x(zz|)v,u()x,z(yy|)v,u()z,y(xx)v,u()v,u()v,u(000000000切平面方程为法线方程首页上页返回下页结束例求曲面uzvubyvuaxsinh,sincosh,coscosh.)4,0(),(和法线方程所对应的点处的切平面在vu..),2(:)2(为柱面证明函数为具有连续导数的一元其中fzyfezx.)0,(22222222是相互正交的与babyzyxaxzyx例已知曲面例证明两球面两曲线交点处的夹角;两曲面交线上一点处的夹角;两曲面正交.首页上页返回下页结束空间曲线的切线与法平面（关键在切向量）（直线：点向式；平面：点法式）三、小结,)t(zz)t(yy)t(xx)(1)t(z),t(y),t(x)t(r0000切向量,)z,y,x(G)z,y,x(F)(002000,,yxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFF切向量)p(gradG)p(gradF00,)()(xgzxfy特殊地：)}.x(g),x(f,{001首页上页返回下页结束曲面的切平面与法线(关键在法向量