第4讲《用假设法解题》

小学数学培优专题训练第四讲巧用假设法解决问题专题简析假设法是一种常用的解题方法。“假设法”就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，然后按已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整，从而找到正确答案。运用假设法的思路解应用题，先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相等，其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化并作出适当的调整。【思路导航】鸡、兔同笼这类问题往往用假设法来解答，即设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与实际情况矛盾，根据数量上出现的这类矛盾，再适当调整，从而找到正确答案。假设全是鸡，那么相应的脚剖数应是2×35=70（只），与实际相比，脚减少了94-70=24（只）。少的原因是每把一只兔当作一只鸡时，要少4-2只脚。所以，兔有脚24÷2=12（只）。鸡有15-12=23（只）？想一想：假设全是兔，该怎样解答？例题1今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，部鸡、兔各有多少只？（1）鸡与兔共有30只，共有脚70只，鸡与兔各有多少只？（2）鸡与兔共有20只，共有脚50只，鸡与兔各多少只？（3）鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔多80只，鸡与兔各有多少只？假设全是鸡。（70-2×30）÷（4-2）=5（只）兔的只数30-5=25（只）鸡的只数假设全是兔。（4×20-50）÷（4-2）=15（只）鸡的只数20-15=5（只）兔的只数（2×100-80）÷（2+4）=20（只）兔的只数100-20=80（只）鸡的只数【思路导航】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值是2元的人民币，那么27张人民币是2X27=54（元），与实际相比减少了99-54=45（元）少的原因是每把一张面、值2元的人民币当作一张面值是5元的人币，要少5-2=3（元）钱，所以，面值是5元的人民币有45÷5=15张面值是2元、5元的人民币共27张，合计99元，面值是2元、5元的人民币各有多少张？(2)孙佳有2分、5分硬币共40枚,一共是1元7角,两种硬币各有多少枚?(2)50名同学去划船,一共乘坐11只船,其中每条大船坐6人,每条小船坐4人,问大船和小船各几只?假设全是面值2分的硬币（170-2×40）÷（5-2）=30（枚）5分硬币40-30=10（枚）2分硬币假设全是小船（50-4×11）÷（6-4）=3（只）大船11-3=8（只）小船(3)12张乒乓球台上同时有34人在进行乒乓赛,正在进行单打球台有多少张?假设全部在进行双打，应有12×4=48（人）参加比赛，现在只有34人，多算了48-34=14（人），把单打的看成了双打的14÷（4-2）=7（张）【思路导航】求出大车和小车每辆各装多少吨,是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩4×36=144（吨），需45-36=9（辆）小车来运，这样可以求出每辆的装载量144÷9=16（吨），所以，这批水泥有16×45=720（吨）。45×〔4×36÷（45-36）〕=720（吨）答：这批水泥有720吨。？想一想：如果只用45辆大车来运，该怎样解答？例题3一批水泥，用小车装载，要用45辆，用大车装载，只要36辆，每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨？（1）一批货物用大卡车装要16辆，如果用卡车装要48辆，已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货有多少吨？（2）有一堆黄沙，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次，每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨？如果只用16辆大车来装这批货物，那么剩下4×16=64（吨），需48-16=32（辆）小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量：64÷32=2（吨）。所以，这批货物共重：2×48=96（吨）。综合算式：4×16÷（48-16）×48=96（吨）如果只用小汽车运50次，那么剩下3×50=150（吨），需小汽车运80-50=30（次），这样，可以求出小汽车每次运：150÷30=5（吨）。所以，这批黄沙共重：5×80=400（吨）综合算式：3×50÷（80-50）×80=400（吨）•（3）一批钢材，用小车装，要用35辆，用大车装只用30辆，每辆小车比大车少装3吨，这批钢材有多少吨？如果只用30辆小卡车运，那么剩下3×30=90（吨），需35-30=5（辆）小卡车运，这样可以求出每辆小卡车的装载量：90÷5=18（吨）。所以，这批钢材共重：18×35=630（吨）。综合算式：3×30÷（35-30）×35=630（吨）【思路导航】假设1000个杯全部运到并完好无损应得运费1X1000=1000（元），实际上少得远费1000-920=80（元），这说明运输过程中打碎了下班杯，每打碎1个，不但不给运费还要赔偿3元，这样玻璃杯厂就少收入1+3=4元，又已求出共少收入80元，所以打碎的玻璃杯数为804=20（个）。（1X1000-920）÷（1+3）=20（个）答：打碎了玻璃杯20个。例题4某玻璃杯厂商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个远费为1元，如果打碎一个，这个不但不给运费，而且要赔偿3元，结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元，求打碎了几个下班杯？（1）搬运1000只玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角。但打碎一只，不仅不给搬运费，还要赔5角，如果运完后共得运费260元，那么，搬运中打碎了多少只。假设全部安全运到了，所得运费比实得的运费高，这说明运输过程中打碎了玻璃瓶。这是解题的突破口。260元=2600角3×1000-2600=400（角）实际少得的钱数400÷（3+5）=50（只）打碎的只数（2）某次数学竞赛共20道题，评分标准每做对一道得5分，每做错或不做一题倒扣1分，刘亮参加了这次竞赛，得了64分，刘亮做对了多少道题？（3）某校举行化学竞赛共有15道题，规定每做对一题得10分，每做错一题或不做题倒扣4分，小华在这次竞赛中共得66分，问他做对了几道题？假设全做对了，所得分应比实得分高，这说明李强做错了一些题，这是解题的突破口5×20-64=36（分）实际少得的分数36÷（5+1）=6（道）做错的道数20-6=14（道）作对的道数（10×15-66）÷（10+4）=6（道）做错的道数15-6=9（道）做对的道数【例4】传说中九头鸟有九头一尾,九尾鸟有九尾一头.今有头580个,尾900个,问两种鸟各有多少只?两种鸟共有:(580＋900)÷(9＋1)=148只九尾鸟只数:九头鸟只数:(148×9)÷(9－1)=94只148－94=54只【例5】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），问蜻蜓多少只？假设全部是蜘蛛,则共有腿:比实际腿数多:把蜻蜓和啴看做一种动物,则1只蜘蛛比它们多:蝉和蜻蜓一共有多少只?假设13只全部是蜻蜓则共有翅膀:比实际翅膀多:一支蜻蜓比蝉多几对翅膀:蝉有几只?蜻蜓有多少只?8×18=144条144－118=26条8－6=2条26÷2=13只13×2=26对26－20=6对2－1=1对6÷1=6只13－6=7只【思路导航】因为“40元的门票的张数相等”，所以可把40元和50元门票的都看作45元的门票，假设这200张门票都是45无际凶的，应付45X200张=9000（元），这样就比实际上付了9000-7800=1200（元）这是因为把30元的门票都看成了45元的门票，因此30元的门票有1200÷（45-30）=80（张）。由此可易求40元和50元的门票张数。（1）45X200-7800）÷（45-30）=80（张）（2）（200-80）÷2=60（张）答：30元的有80张，40元和50元有各有60张。例题5某场乒乓球比赛售出30元、40元、50的门票共200张，收入7800元，其中40元和50元的张数相等，每种票售出多少张？疯狂操练5（1）某场羽毛球比赛售出40元、30元、50元的门票共400张，收入15600元，其中40元和50元的张数相等。每种票各售出多少张？把10元和50元都换成45元（15600-30×400）÷（45-30）÷2=120（张）40元或50元的张数400-240=160（张）30元的张数（2）有甲、乙、丙三种练习薄，价钱分别为7角，3角和2角，三种练习薄一共买了47本，付了21元2角，买乙种练习薄的本数是丙种练习薄的2倍，三种练习薄各买了多少本？（7×47-212）÷（7×3-3×2-2）=9（次）1×9=9（本）丙买的本数2×9=18（本）乙买的本数47-9-18=20（本）甲买的本数•（3）有8个谜语让60个人猜，猜对共338人次。每人至少猜对3个，猜对3个的有6人，猜对4个的有10人，猜对5个和7个的人数同样多。8个全猜对的有多少人？先求出猜对5个和7个总共有：338-3×6-4×10=280（人次）。“猜对5个和7个的人数同样多”可以看作是猜对（5+7）÷2=6（个），假设剩下的人全都是猜对6个比实际上少算了280-（60-6-10）×6=16（人次），这是因为把猜对8个的看成了猜对6个的，因此猜对8个的有16÷（8-6）=8（人）