成人高考(专升本)高等数学成考笔记

1/16第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。[主要知识内容]（一）数列的极限1.数列定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记作{xn}，数列中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项，例如（1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差数列）（2）（等比数列）（3）（递增数列）（4）1，0，1，0，…，…（震荡数列）都是数列。它们的一般项分别为（2n-1）,。对于每一个正整数n，都有一个xn与之对应，所以说数列{xn}可看作自变量n的函数xn=f（n），它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。在几何上，数列{xn}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...xn,…。2.数列的极限定义对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn无限地趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作比如：无限的趋向0，无限的趋向1否则，对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{xn}没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。比如：1，3，5，…，（2n-1），…1，0，1，0，…数列极限的几何意义：将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列{xn}以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A，即点xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。比如：无限的趋向0无限的趋向12/16（二）数列极限的性质与运算法则1.数列极限的性质定理1.1（惟一性）若数列{xn}收敛，则其极限值必定惟一。定理1.2（有界性）若数列{xn}收敛，则它必定有界。注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如：1，0，1，0，…有界：0，12.数列极限的存在准则定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件：（1），（2），则定理1.4若数列{xn}单调有界，则它必有极限。3.数列极限的四则运算定理。定理1.5（1）（2）（3）当时，（三）函数极限的概念1.当x→x0时函数f（x）的极限（1）当x→x0时f（x）的极限定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的极限是A，记作或f（x）→A（当x→x0时）例y=f（x）=2x+1x→1,f（x）→?x1x→1x1x→1（2）左极限当x→x0时f（x）的左极限定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A，记作或f（x0-0）=A（3）右极限当x→x0时，f（x）的右极限定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的右极限是A，记作或f（x0+0）=A例子：分段函数，求，3/16解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的左极限是1，即有当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右极限是-1，即有显然，函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系：定理1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是反之，如果左、右极限都等于A，则必有。x→1时f(x)→?x≠1x→1f(x)→2对于函数，当x→1时，f（x）的左极限是2，右极限也是2。2.当x→∞时，函数f（x）的极限（1）当x→∞时，函数f（x）的极限y=f(x)x→∞f(x)→?y=f(x)=1+x→∞f(x)=1+→1定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作或f（x）→A（当x→∞时）（2）当x→+∞时，函数f（x）的极限定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A，记作这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。y=f(x)x→+∞f(x)x→？4/16x→+∞，f(x)=2+→2例：函数f（x）=2+e-x，当x→+∞时，f（x）→？解：f（x）=2+e-x=2+，x→+∞，f（x）=2+→2所以（3）当x→-∞时，函数f（x）的极限定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x）的极限是A，记作x→-∞f(x)→？则f(x)=2+(x＜0)x→-∞,-x→+∞f(x)=2+→2例：函数，当x→-∞时，f（x）→？解：当x→-∞时，-x→+∞→2，即有由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x）极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函数f（x）有相同的极限A。例如函数，当x→-∞时，f（x）无限地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无限地趋于同一个常数1，因此称当x→∞时的极限是1，记作其几何意义如图3所示。f(x)=1+y=arctanx不存在。5/16但是对函数y=arctanx来讲，因为有即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。x)=1+y=arctanx不存在。但是对函数y=arctanx来讲，因为有即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。（四）函数极限的定理定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理1.8（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：（1），（2）则有。注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。下面我们给出函数极限的四则运算定理定理1.9如果则（1）（2）（3）当时，时，上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：（1）（2）（3）用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。（五）无穷小量和无穷大量1.无穷小量（简称无穷小）定义对于函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量，一般记作6/16常用希腊字母，…来表示无穷小量。定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是：可表示为A与一个无穷小量之和。注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。例如：振荡型发散（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。2.无穷大量（简称无穷大）定义；如果当自变量（或∞）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。记作。注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一个记号，绝不能写成或。3.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。定理1.11在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且，则为无穷大量。当无穷大无穷小当为无穷小无穷大4.无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5.无穷小量的比较定义设是同一变化过程中的无穷小量，即。7/16（1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作；（2）如果则称与为同阶的无穷小量；（3）如果则称与为等价无穷小量，记为；（4）如果则称是比较低价的无穷小量。当等价无穷小量代换定理：如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。均为无穷小又有这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。常用的等价无穷小量代换有：当时，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;（六）两个重要极限1.重要极限Ⅰ重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式8/16令这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。其结构式为：2.重要极限Ⅱ重要极限Ⅱ是指下面的公式：其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为e=2.718281828495045……其结构式为：重要极限Ⅰ是属于型的未定型式，重要极限Ⅱ是属于“”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。（七）求极限的方法：1.利用极限的四则运算法则求极限；2.利用两个重要极限求极限；3.利用无穷小量的性质求极限；4.利用函数的连续性求极限；5.利用洛必达法则求未定式的极限；6.利用等价无穷小代换定理求极限。基本极限公式（2）（3）（4）9/16例1.无穷小量的有关概念（1）[9601]下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是A.B.C.D.[答]CA.发散D.（2）[0202]当时，与x比较是A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量[答]B解:当,与x是极限的运算：[0611]解：[答案]-1例2.型因式分解约分求极限（1）[0208][答]解:（2）[0621]计算[答]解:例3.型有理化约分求极限（1）[0316]计算[答]解:10/16（2）[9516][答]解:例4.当时求型的极限[答]（1）[0308]一般地，有例5.用重要极限Ⅰ求极限（1）[9603]下列极限中，成立的是A.B.C.D.[答]B（2）[0006][答]解:例6.用重要极限Ⅱ求极限（1）[0416]计算[答][解析]解一：令11/16解二：[0306][0601]（2）[0118]计算[答]解:例7.用函数的连续性求极限[0407][答]0解:，例8.用等价无穷小代换定理求极限[0317][答]0解:当例9.求分段函数在分段点处的极限（1）[0307]设则在的左极限[答]1[解析]（2）[0406]设,则[答]1[解析]例10.求极限的反问题（1）已知则常数12/16[解析]解法一：，即，得.解法二：令，得，解得.解法三：（洛必达法则）即，得.（2）若求a,b的值.[解析]型未定式.当时，.令于是，得.即，所以.[0402][0017]，则k=_____.（答:ln2）[解析]前面我们讲的内容：极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2.会求函数的间断点。3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4.理解初等函数在其定义区