二次函数综合应用问题

二次函数综合应用问题2(0)yaxbxca[例1](十堰市,2001)已知:关于x的函数的图象与x轴总有交点(1)求a的取值范围(2)设函数的图象与x轴有两个不同的交点A、B,其坐标为当,求a的值.221(32)(1)4yaaxax12(,0),(,0),AxBx212113axx时2222:(1)320,12,11,,412,,4..320,12,,1(1)4(32)0410112,12,iaaaaayxayxxiiaaaaxaaaaaaaaay解当时或当时原函数为与轴平行没有交点当时原函数为是一个一次函数与轴有一个交点当时且此时函数为二次函数如果图象与轴有交点则有即又且所以且时二次函数221(32)(1).4,1,.aaxaxxax的图象与轴有两个交点综上所述当时函数的图象与轴有交点12122221212122114(2),3232114(1)3410231,23123axxxxaaaaxxaaxxxxaaaaa而舍去[练习](鄂州市,2001)已知抛物线与x轴的两个交点在点(1,0)的两旁,试判断关于x的方程的根的情况,并说明理由.221(1)504xmxm227yxmxm解:(法一)如图示,当x=1,y0即1+2m+m-70所以m22121212121212()27(,0),(,0):(1)(1)0()102,772102yxmxmxxxxxxxxxxxmxxmmmm法二设与轴的两个交点为据题意则有即又22221(1)5041(1)4(5)4xmxmmm对于方程242(2)mm∵m＜2，∴⊿＜0∴方程没有实数根。2(,2000),,4,(2,0),,,,.(1)(2)[,,.(]3.),AAxEFyCDCABCxBBCyaxbxcBCxAxC西安市如图在直角坐标系中圆的半径为点的坐标为与轴交于两点与轴交于两点过点作圆的切线交轴于求直线的解析式若抛物线的顶点在直线上与轴的交点恰为圆与轴的交点求抛物线的解析式试判断点是否在抛物线上例并说明理由2[例3]已知抛物线交，交y轴的正半轴于C点，且。（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线。如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象关于直线x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上.（1）求此二次函数的解析式；（2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上移动到点M时，图象与x轴交于A、B两点，且S△ABM=8，求此时的二次函数的解析式。练习：例4、已知抛物线C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称。(1)求抛物线C2的解析式；C2的解析式为：y＝－(x－1)2＋1＋m＝－x2＋2x＋m.yxOC1C2（－1,1＋m）（1,1＋m）例4已知抛物线C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称。(1)求抛物线C2的解析式；(2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点；由抛物线C1与x轴有两个交点，得△1＞0，即(－2)2－4×（－1）m＞0，得m＞－1由抛物线C2与x轴有两个交点，得△2＞0，即(－2)2－4×（－1）m＞0，得m＞－1yxO当m=0时，C1、C2与x轴有一公共交点(0，0)，因此m≠0综上所述m＞－1且m≠0。例4已知抛物线C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称。(1)求抛物线C2的解析式；(2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点；(3)若抛物线C1与x轴两交点为A、B（点A在点B的左侧），抛物线C2与x轴的两交点为C、D（点C在点D的左侧）,请你猜想AC＋BD的值，并验证你的结论。解：设抛物线C1、C2与x轴的交点分别A(x1,0)、B(x2,0)、C(x3,0)、D(x4,0)yxOABCD则AC＋BD＝x3－x1＋x4－x2＝(x3＋x4)－(x1＋x2)，于是AC＝x3－x1，BD＝x4－x2，∵x1＋x2＝－2，x3＋x4＝2，∴AC＋BD＝4。例5、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．练习、如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为多少m？（精确到0.1m，水泥建筑物厚度忽略不计）.xy练习.改革开放后，不少农村用上自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5m，在B处有一个自动旋转的喷头。一瞬间，喷出水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45°角，水流最高点C比喷头高出2m，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到A点的距离是多少米。AyBOCFDEx作CF⊥AD于F，作BE⊥CF于E，连结BC，易知OF=BE=CE=2，EF=OB=1.5，CF=2+1.5=3.5，∴B(0,1.5)，C(2,3.5).设所求抛物线的解析式为：y=a(x－2)2+3.5当x=0时，y=1.5，即a(0－2)2+3.5=1.5，21a解得5.3)2(212xy即72,05.3)2(21,012xxy则得时当722x.)72().0,72(mADD点的距离是到即(舍)，例6、国家对某种产品的税收标准原定每销售１００元需缴税８元（即税率为８％），台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品ｍ吨，每吨２０００元。国家为了减轻工人负担，将税收调整为每１００元缴税（８－ｘ）元（即税率为（８－ｘ）％），这样工厂扩大了生产，实际销售比原计划增加２ｘ％。(1)写出调整后税款ｙ（元）与ｘ的函数关系式，指出ｘ的取值范围；(2)要使调整后税款等于原计划税款（销售ｍ吨，税率为８％）的７８％，求ｘ的值．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高（）A、4元或6元B、4元C、6元D、8元练习有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元。（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额Q元，写出Q关于x的函数关系式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少?练习B例7、如图，在矩形ABCD的边上，截取AH=AG=CE=CF=x，已知：AB=8，BC=6。求：（1）四边形EHGF的面积S关于x的函数表达式和X的取值范围；（2）当x为何值时，S的数值等于x的4倍。（1）DCEFHGA分析：①△AGH≌△CEF吗？②△DHE≌△BFG吗？SΔDHE=SΔBFG,SAHEG=SΔECF所以，S=S矩形=2SΔDHE-2SΔAGH自变量x的取值范围是：解得，0x6（2）令S=4x，得，4x=-2x2+14x解题欣赏练习1：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC上的点，F是CD上的点，且EC=AF，EC=x，ΔAEF的面积为y。（1）求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）画出函数的图象。EBCDAF积累就是知识例8、把长为20㎝的铁丝弯成半径为R的一个扇形，（1）试写出扇形面积S与半径R的函数关系式；（2）求扇形的半径R的取值范围；（3）当R为多长时，扇形的面积最大，其最大面积是多少？（2）根据实际意义，扇形的半径和弧长必须是正数。分析：（1）S=S=RL,L=20-2R（3）因为a=–10，所以S有最大值。当R=—=5时，S最大值==25R020-2R0解得，0R10RRL例9、如图，在梯形ABCD中，AB//DC，ADAB，已知AB=6，CD=4，AD=2，现在梯形内作一内接矩形AEFG，使E在AB上，F在BC上，G在AD上。（1）设EF=x，试求矩形AEFG的面积S关于x的函数关系式；（2）画出函数S的图象；（3）当x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值。AFEDGCB练习⑴设AP长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式。⑵当AP长为何值时，S△PCQ=S△ABC？⑶作PE⊥AC于点E，当点P，Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。如图，等腰Rt△ABC中，AB=2，点P，Q分别从A，C两点同时出发，以相同速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC交于点D。ABPEDCQ答案：⑴21S=（x2–2x）(x﹥2)21（2x–x2）(0﹤x﹤2)⑵AP=1+时5⑶DE长不变，始终等于2