12面积问题存在性问题解题

1面积问题专题1、（2009年益阳市）阅读材料：如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CABS；(3)是否存在一点P，使S△PAB=89S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.20．解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21xay·············1分把A（3,0）代入解析式求得1a所以324)1(221xxxy··············3分设直线AB的解析式为：bkxy2由3221xxy求得B点的坐标为)3,0(···········4分把)0,3(A，)3,0(B代入bkxy2中A2BC铅垂高水平宽ha图12-1图12-2xCOyABD112解得：3,1bk所以32xy·······················6分(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2························8分32321CABS(平方单位)················10分(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则xxxxxyyh3)3()32(2221·······12分由S△PAB=89S△CAB得：389)3(3212xx化简得：091242xx解得，23x将23x代入3221xxy中，解得P点坐标为)415,23(····················14分2.（2011安徽芜湖）平面直角坐标系中，ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0,3)、(1,0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到ABOC.（1）若抛物线过点,,CAA,求此抛物线的解析式;（2）求ABOC和ABOC重叠部分OCD△的周长;（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标.3【答案】解:（1）∵ABOC由ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0,3)，∴点A的坐标为(3,0).……………………………………1分所以抛物线过点(1,0),(0,3),(3,0)CAA.设抛物线的解析式为2(0)yaxbxca，可得03930abccabc解得123abc……………………4分∴过点,,CAA的抛物线的解析式为223yxx.……………………5分（2）因为ABCO∥，所以90OABAOC.所以OB22OAAB221310.又OCDOCAB,CODBOA,∴△COD∽△BOA.又1OCOC.………………7分∴110CODOCBOAOB△的周长△的周长.又△ABO的周长为410，所以△COD的周长为4+10210=1+510.………………9分（3）［解法1］连接OM，设M点的坐标为,mn，因为点M在抛物线上，所以223nmm，………10分所以'''AMAAMOAOAOMASSSS△△△△''111222OAmOAnOAOA3933222mnmn422333273.2228mmm……………12分因为03m，所以当32m时，154n.△AMA的面积有最大值27.8…………13分所以当点M的坐标为315(,)24时，△AMA的面积有最大值，且最大值为27.8…14分[解法2]设直线AA的解析式为ykxl，∵点,AA的坐标分别为(0,3),(3,0)，∴3,30.lkl解得1,3.kl∴3yx.…10分将直线AA向右平移，当直线与抛物线只有一个交点M时与y轴交于点P，此时AMAS△最大，设平移后的直线的解析式为：yxh，则有：223,.yxxyxh得23(3+)0xxh，令94(3)0h，得214h.∴223,21.4yxxyx.解得3,215.4xy∴点M坐标为315(,)24,点P的坐标为21(0,)4.…12分因为MP∥AA,所以△MAA与△PAA同底等高，它们面积相等.故1211273332428AMAPAAPOAAOASSSS△△△△.所以当点M的坐标为315(,)24时，△AMA的面积有最大值，且最大值为27.8……14分3．（2010甘肃兰州）（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线cbxx2-y经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.①当411t时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；5②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．【答案】解：（1）因抛物线cbxxy2经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）故可得c=0,b=4所以抛物线的解析式为xxy42…………………………………………1分由xxy42224yx得当x=2时，该抛物线的最大值是4.…………………………………………2分（2）①点P不在直线ME上.已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，设直线ME的关系式为y=kx+b.于是得4204bkbk，解得82bk所以直线ME的关系式为y=-2x+8.…………………………………………3分由已知条件易得，当411t时，OA=AP=411，)411,411(P…………………4分∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.∴当411t时，点P不在直线ME上.……………………………………5分②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴OA=AP=t.∴点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t)…………………………………6分∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),∴AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0,∴PN=-t2+3t（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的6高为AD，∴S=21DC·AD=21×3×2=3.（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形∵PN∥CD，AD⊥CD，∴S=21(CD+PN)·AD=21[3+(-t2+3t)]×2=-t2+3t+3…………………8分当-t2+3t+3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）4、（2009河池）如图12，已知抛物线243yxx交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．ODBCAxyE图12735、（2009年宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x的正半轴上，BC∥OA，OC=AB，tan∠BAO=34,点B的坐标为（7，4）。（1）求A、C的坐标；（2）求经过点O、B、C的抛物线的解析式；（3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两个部分？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．24．（1）过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BD⊥x轴于D，如图xyABCO第24题图HG8点B的坐标为（7，4），∴BD=4，OD=7．∵tan∠BAO=34ADBD∴AD=3．∴AO=10，∴A（10，0）．（2分）又∵梯形OABC是等腰梯形，OE=AD=3．∴C（3，4）．（3分）（2）设过点O、B、C的抛物线的解析式为)0(2acbxaxy，由O（0,0）、B（7,4）、C（3,4），得：4394740babac，解得21402140bac∴抛物线的解析式为xxy21402142．（6分）（3）∵EO=AD=3，OA=10，∴BC=DE=4，∴梯形的面积为21（4+10）×4=28，过点C与等腰梯形一腰平行的直线把梯形分成面积为l6的平行四边形和面积为l2的三角形，因此与梯形一腰平行且把梯形分成面积相等的两部分的直线一定与边BC交于异于点C的一点（7分）①若过点P的直线平行于OC，过点P作PM//OC，分别与OA、BC相交于M、N，则平行四边形OMNC的面积等于梯形面积的一半，SOMNC=OM·CE=14，∴OM=27，∴M（27，0）．∵点P在抛物线xxy21402142上，设点P（xxx2140214,2）（0x），9则∠PMA=∠COA，tan∠PMA=34，∴342721402142xxx，解得：210731x（舍去），210732x∴点P的横坐标为21073（10分）②若过点P的直线平行于AB，∵xxy21402142的对称轴为x=5，由对称性可得点P的横坐标为210717．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分，点P的横坐标为21073或210717（12分）6、（2011•烟台）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上．直线CB的表达式为y=﹣错误!未找到引用源。x+错误!未找到引用源。，点A、D的坐标分别为（﹣4，0），（0，4）．动点P自A点出发，在AB上匀速运行．动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）．（1）求出点B、C的坐标；（2）求s随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值．考点：二次函数综合题。分析：（1）把y=4代入y=﹣错误!未找到引用源。x+错误!未找到引用源。，求得x的值，则可得点C的坐标，把y=0代入y=﹣错