第六章截面图形几何性质

工程力学(2)-材料力学下一章返回总目录2020年1月29日第6章梁的截面图形几何性质庄茁蒙民伟科技大楼N501室62783014，zhuangz@辅导教师：宇慧平副教授(62773780)助教博士生：王涛，刘凤仙(62773780),N504室TSINGHUAUNIVERSITY为什么要研究截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩静矩、形心及其相互关系第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质结论与讨论TSINGHUAUNIVERSITY返回返回总目录为什么要研究截面的几何性质第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质TSINGHUAUNIVERSITY◆实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。◆不同的分布内力系，组成不同的内力分量，分析时将应用不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质为什么要研究截面的几何性质TSINGHUAUNIVERSITY◆不同的分布内力系，组成不同的内力分量，分析时将应用不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。NxFANdxAAFzAxMyAdzzxIyMCyAzAyId2FNMzconst.xCyxNdxAAFzAMAyCd2yOzzIMC第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质为什么要研究截面的几何性质Iz—图形对z轴的惯性矩TSINGHUAUNIVERSITY研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质为什么要研究截面的几何性质TSINGHUAUNIVERSITYCentroid-形心;Firstmoment-静矩,面积矩;Secondmomentormomentofinertia-惯性矩;Radiusofgyration-惯性半径,回转半径;Polarmomentofinertia-极惯性矩;Productofinertia-惯性积;Parallel-axisprinciple-移轴定理GeometricalpropertiesofcrosssectionTSINGHUAUNIVERSITY静矩、形心及其相互关系第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质返回返回总目录TSINGHUAUNIVERSITYAyAzSdzyOdAyzAzAySd——图形对于y轴的静矩——图形对于z轴的静矩静矩、形心及其相互关系第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质静矩、形心及其相互关系TSINGHUAUNIVERSITYACyAzSzyOdAyzzyOzCCyCAyAzSdAzAySdCzAyS分力矩之和合力之矩静矩、形心及其相互关系第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质静矩、形心及其相互关系TSINGHUAUNIVERSITYAAyASyAzCdCyAzSAyAzSdAzAySdCzAySAAzASzAyCd已知静矩，可以确定图形的形心坐标已知图形的形心坐标，可以确定静矩静矩、形心及其相互关系第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质静矩、形心及其相互关系TSINGHUAUNIVERSITY第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质静矩、形心及其相互关系AAyASyAzCdAAzASzAyCd如果轴通过图形形心，则图形对这一轴的静矩等于零。静矩、形心及其相互关系如果图形对轴的静矩等于零，则这一轴通过图形形心。TSINGHUAUNIVERSITY对于组合图形niCiiCnnCCyniCiiCnnCCzzAzAzAzASyAyAyAyAS1221112211niiniCiiyCniiniCiizCAzAASzAyAASy1111静矩、形心及其相互关系第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质静矩、形心及其相互关系C1C2ⅠⅡyzCTSINGHUAUNIVERSITY惯性矩、极惯性矩、惯性半径第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质返回返回总目录TSINGHUAUNIVERSITYAyAzId2AArId2PAyzAyIzdAzAyId2——图形对y轴的惯性矩——图形对z轴的惯性矩——图形对yz轴的惯性积——图形对O点的极惯性矩zyOdAyzrA惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径TSINGHUAUNIVERSITYAIiyyAIizz——图形对y轴的惯性半径——图形对z轴的惯性半径zyOdAyz惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径TSINGHUAUNIVERSITYAyAzId2AArId2PAyzAyIzdAzAyId2＞0＞0或＞0＞0＜0zyOdAyz惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径TSINGHUAUNIVERSITYAyAzId2AArId2PAzAyId2zyIIIPzyOdAyzrA惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径TSINGHUAUNIVERSITY已知：圆截面直径d求：Iy，Iz，IPrrAdπ2d64πdπ2214202drrrd4Pπ232ydIIAzyArIIId2122PdrdrdACyz例题1解：取圆环微元面积第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径TSINGHUAUNIVERSITY已知：矩形截面b×h求：Iy，IzCyzbhzdzdAydydA解：取平行于z轴和y轴的微元面积ddAbyddAhz32222dd12hhzAbhIyAyby32222dd12bbyAhbIzAzhz例题2第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径TSINGHUAUNIVERSITY惯性矩与惯性积的移轴定理第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质返回返回总目录TSINGHUAUNIVERSITY移轴定理（parallel-axistheorem）是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。惯性矩与惯性积的移轴定理第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩与惯性积的移轴定理TSINGHUAUNIVERSITYAzyOdAyzO´y1=y＋az1=z＋b已知：Iy，Iz，Iyz求：Iy1，Iz1，Iy1z1AzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211y1z1ab惯性矩与惯性积的移轴定理第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩与惯性积的移轴定理TSINGHUAUNIVERSITYy1=y＋az1=z＋bAzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211AzyAzAyAbzayIAayIAbzIddd112121abAbSaSIIAaaSIIAbbSIIzyyzzyzzzyyy11212122zyOdAO´yzy1z1ab惯性矩与惯性积的移轴定理第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩与惯性积的移轴定理TSINGHUAUNIVERSITYabAbSaSIIAaaSIIAbbSIIzyyzzyzzzyyy11212122如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0abAIIAaIIAbIIyzzyzzyy112121惯性矩与惯性积的移轴定理第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩与惯性积的移轴定理TSINGHUAUNIVERSITYabAIIAaIIAbIIyzzyzzyy112121因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。惯性矩与惯性积的移轴定理第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩与惯性积的移轴定理TSINGHUAUNIVERSITY惯性矩与惯性积的转轴定理第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质返回返回总目录TSINGHUAUNIVERSITY所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。惯性矩与惯性积的转轴的概念第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩与惯性积的转轴定理TSINGHUAUNIVERSITYdAyzd0yzAIyzAzyO第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩与惯性积的转轴定理TSINGHUAUNIVERSITYdAd0yzAIyzAyzzyOzyOdAzy第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩与惯性积的转轴定理TSINGHUAUNIVERSITY00d0yzAIyzAzyOα0α0如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为过这一点的主轴（principalaxes）。图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩（principalmomentofinertiaofanarea）。因为惯性积是对一对坐标轴而言的，所以，主轴总是成对出现的。第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质惯性矩与惯性积的转轴定理TSINGHUAUNIVERSITY形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质返回返回总目录TSINGHUAUNIVERSITY00d0yzAIyzAzyOα0α0可以证明，图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同，而对于主轴的惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质形心主轴与形心主惯性矩TSINGHUAUNIVERSITY对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的Iy或Iz惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质形心主轴与形心主惯性矩TSINGHUAUNIVERSITY00d0yzAIyzAzyCα0α0图形对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称为形心主矩。第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质形心主轴与形心主惯性矩TSINGHUAUNIVERSITY00d0yzAIyzA工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。zyCα0α0第6章梁的应力分析与强度计算-截面的几何性质形心主轴与形心主惯性矩TSINGHUAUNIVERSITYzyCα0α0主轴的方向角以及主惯性矩可以通过初始坐标轴的惯性矩和惯性积确定:zyyzIII2tan2022min0max04212yzzyzyzyIIIIIIIII主轴与形心主轴,主惯性矩与形心主惯性矩第6章梁的