第六章拉格朗日动力学

本章介绍分析力学的基础知识,并阐述分析力学的变分原理,即微分变分原理(虚功原理)和积分变分原理(哈密顿原理)，并由哈密顿原理导出拉格朗日方程.第六章拉格朗日动力学本章要求:掌握约束方程的不同分类,理解掌握虚位移和理想约束的概念,并利用虚功原理、哈密顿原理处理力学系统的问题，以及用拉格朗日方法建立完整约束的有势系的运动微分方程.主要内容:•分析力学的基础知•虚功原理•哈密顿原理•拉格朗日方程•拉格朗日方程的广义动量积分和广义能量积分•多自由度系统在稳定平衡位置附近的微振动•拉格朗日方法的特点和意义对称性与守恒律§6.1分析力学的基础知识一.约束由约束物体预先给定对力学系统运动的限制,称为约束.可表现为对系统各质点位置和速度限制,其数学表达式为:0,,,,,;,,,,321321trrrrrrrrfnn--------约束方程,即坐标和速度必需满足约束条件的数学方程.例如:1.长为的刚性轻杆,一端被光滑铰链悬挂在天花板，另一端与小球连接组成球面摆。l02222lzyx2.半径为的车轮沿小平直线轨道做无滑滚动,车轮受到轨道约束,约束方程为:R00Rxycc0,RxRycc积分初始条件3.一质点始终在球心固定的球面上运动,球的半径为,质点的约束方程为atRR0020222atRzyx二.约束的分类根据约束方程的不同特点对约束进行分类.1.完整约束和非完整约束0,,,,,321trrrrfn约束方程仅含质点的坐标和时间的约束,称为完整约束.对时间求导0)(1tfzzfyyfxxfniiiiiii完整约束的微商形式是否完整约束没对质点的速度有限制?0dt)(1tfdzzfdyyfdxxfniiiiiii非完整约束:约束方程含有质点的坐标、坐标对时间的导数或坐标的微分,并且不能通过积分使之转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程的约束.0,,,,,;,,,,321321trrrrrrrrfnn不受非完整约束的系统为完整系，反之为非完整系；这里我们只研究完整系。2.定常约束和非定常约束0,,,,;,,,,321321nnrrrrrrrrf定常约束：0,,,,,;,,,,321321trrrrrrrrfnn非定常约束：3.双侧约束和单侧约束约束方程是等式表示为双侧约束；若约束方程含有不等式为单侧约束。单侧约束只在某一侧限制系统的运动,至于向另一侧的运动则是完全自由的.例如单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向绳伸长的方向运动，但向绳缩短的方向运动却是自由的.4.理想约束和非理想约束根据约束力的性质可分为理想和非理想约束，这部分内容在6.1.2节中阐述。举例分析以上四种不同角度对约束方程的分类。非完整约束举例分析：考虑一个冰面上滑行的冰鞋上装有的冰刀.，冰面限制使得冰刀只有纵向速度，则以冰刀质心坐标和转角为位置坐标，其冰刀的约束方程为ccccdydxyxcotcot三.自由度对于完整系，确定系统位置所需要的独立坐标的数目，称为该系统的自由度。n个质点，k个约束的系统的自由度：个（完整系）kns3例1:细杆AB一端被约束在水平面上,长为,确定其自由度。l),,(),,,(BBBAAAzyxzyx22220lzxyzxxzBABABAA426s四.广义坐标广义坐标可以是长度、面积、体积、分子内能、熵、热量和电极化强度等广延量,摆脱了牛顿力学对坐标限制.iq),,2,1();,,,(21　　　nitqqqrrsii)t;q,,q,q(zz)t;q,,q,q(yy)t;q,,q,q(xxsiisiisii212121坐标变换方程:在给定的约束条件下确定力学系统空间位置的一组独立变量，称为广义坐标，用表示,其对时间的导数为广义速度:sqqq,,,21q§6.1.2虚位移和虚功理想约束一.虚位移0t质点在满足当时约束条件下一切可能的无限小位移,称为该时刻质点的虚位移.用表示.虚位移只决定于质点在此时的位置和加在它上面的约束,而不是由于时间变化所引起的.r质点由于运动实际发生的位移,叫做实位移.用表示在时间内质点真实发生的位移.drdtrdr虚位移和实位移的区别:实位移不仅要满足约束方程,还要满足运动方程,而虚位移只需要满足约束.在定常约束下,实位移是无限多虚位移中的一个.而在非定常约束时,二者一般不一致.二.虚功和广义力作用在质点上的力与质点任一虚位移r中所作得功,叫做虚功:rFWiinirFW1系统所有主动力的虚功之和:;,,,21tqqqrrsii1qqrrsiiQ111111qqqrFqqrFrFWsniiisnisiiniii的广义力对应坐标为与广义qQ主动力均为有势力的力学体系(有势系)),,,(),,(21tqqqVVzyxVVsiiiiiziiyiixzVFyVFxVF,,而有势系广义力表达式sqVQsqzzVqyyVqxxVQniiiiiii,,2,1,,,2,1,1niiiqrFQ1由三.理想约束作用于力学系统的所有约束力在任意虚位移上的虚功之和为零,则这种约束为理想约束,即01iRiniRrFW举例分析:例1:质点(研究对象）沿运动的光滑曲面或曲线运动,约束方程：0),,,(tzyxf质点的虚位移应满足:00rfzzfyyfxxf即虚位移仍垂直于曲面的法向.而约束力沿曲面的法向,所以虚功也仍为零.例2:刚性约束:两质点（研究对象）被刚性杆连接.刚体中两质点的径矢分别为ri和rj,则约束方程为022ijjilrr02jijirrrr因此约束力的虚功之和为零00iRijijijjiirFrrrrrRrRW因约束力是一对内力,大小相等方向相反,即.由约束方程可知虚位移满足)(jijirrRR总结几种常见的理想约束的实例1)质点(研究对象)被约束在光滑的曲线或曲面上.2)刚体(研究对象)在另一固定刚体上做无滑滚动.3)物体用光滑铰链连接的约束.4)互相接触的表面光滑的两个刚体(研究对象)所受到的约束等.5)两个刚体(研究对象)无滑相互接触.§6.2虚功原理一.虚功原理虚功原理内容:受有理想约束、定常约束的力学系统,保持静平衡的必要充分条件是作用在该系统的全部主动力的虚功之和为零,即01iniirF证明:1)必要性力学系统相对惯性系处于平衡状态时,系统每一质点都是处于平衡,,,,2,10,niFFRii则作用于第i质点所有各力的虚功之和为零0iiRiirFrF011niiiRniiirFrF对于理想约束01iniRirF01iniirF2)充分性若系统的主动力虚功之和为零,01iniirF对于受理想约束的系统有:01iniRirF011niiiRniiirFrF若系统受的约束是稳定(定常)约束,各质点的无限小实位移必与其中一组虚位移重合,则系统的主动力与约束力的实功之和为零.011niiiRniiirdFrdF根据质点系的动能定理,常量TrdFrdFdTiniRiinii011说明若系统刚开始处于静止,则一直保持静止,从而得证.关于虚功原理几点说明:1)虚功原理是一条运用统一观点和方法处理各类力学系统(质点、质点系、刚体等）静力学问题的基本原理，有很大普适性。2)虚功原理不是用静止观点解决静力学问题,而是采用变动观点来寻找平衡的条件.3)虚功原理只涉及到主动力,包括外力和内力中的主动力,而未涉及未知的约束力,从而给解决受有理想约束的多约束力学系统的静力学问题带来极大的简化.4)虚功原理中的主动力所做的虚功之和为零,是对任意的虚位移而言,而不是特殊的虚位移.二.广义平衡方程运用虚功原理,导出广义平衡方程,即得到力学系统的平衡位置或静平衡时各个主动力间的关系.011qQrFWsiini对于完整系中,个广义坐标的变分相互独立,则ssqqq,,21.,,2,1,0sQ--------------系统静平衡的广义平衡方程虚功原理另一种表述:对于受完整的、定常的、理想约束的力学系统，保持静平衡的必要充分条件是所有的广义力都为零。0Q1niiiqrF对于主动力均为保守力的有势系，广义平衡方程为：sqVQ,,2,1,0001VqqVs---------表明处于静平衡的系统的势能取极小值、极大值、或是稳定值。且对有势系,势能取极值是系统静平衡的充要条件.例2两刚杆用光滑铰链交结如图.上杆长l1质量为m1,下杆长l2,质量为m2,在下杆的下端施加不变的水平力F,试求平衡时两杆各自同水平线的夹角和.解：分析系统是受完整的、定常的、理想的约束，则,确定它的自由度2个，广义坐标gm1gm2根据虚功原理有032211rFrgmrgm)1(032211yFxgmxgmcos21sin211111lxlxcoslcoslxsinlsinlx2122122121sinlsinlycoslcosly213213代入(1):gm1gm2032211yFxgmxgm0)sincos21(0)sincoscos21(22211211FlglmFlglmglmFgmFgmgmFgmFgmgmFlglmFlglmglm2arctan22arctan2tan;22tan0sincos210sincoscos2122122122211211的系数为零，有,由于相互独立,则,虚功原理主要用于求解:1)系统的静平衡位置;2)维持系统平衡时作用于系统的主动力间的关系.虚功原理解题的主要步骤:1)明确系统的约束类型,看是否满足虚功原理要求的条件.2)正确判断系统的自由度,选择合适的广义坐标3)分析并图示系统受到的主动力;5)求解广义平衡方程.4)通过坐标变换方程,将虚功原理化成的形式,进而得到广义平衡方程.对有势系,可求出系统势能V,再由,得到广义平衡方程.01qQssQ,,2,1,0sqV,,2,1,0三.利用虚功原理求约束力虚功原理中不出现约束力,那如何求解处于静平衡的系统受到的约束力呢?利用释放约束的方法求约束力：根据需要把所求的约束力相关的约束释放，然后分析由于约束释放增加了的自由度，并先择好广义坐标，注意要把欲求的约束力视为“主动力”与主动力一起代入虚功原理方程中，就可求得约束力。例6.3长度为L的四根轻杆,用光滑铰链连成一菱形ABCD.AB和AD支于相距为2a的在同一水平线上两根钉子上,BD间用一轻绳联接,C点上施加力F.设A点的顶角为2a.试用虚功原理求绳中张力