平面向量的数量积

Fs┓一、引入问题：前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算，那么向量与向量能否“相乘”呢？问题：一物体在力F的作用下发生位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？Fs┓W=|F||s|cosOABba功：1.概念:(1)夹角:OAaBbabab两个非零向量和，作,则叫做向量和的夹角，记作．AOB)1800(ab,,OAaOBb,ab规定零向量与任一向量的夹角是任意的。AOB（1）OAB（2）BOA（3）AOB┓（4）思考：指出下列图中向量与的夹角OAOB若a与b同向，则0若a与b反向，则180//ab若a与b垂直，则90,记作ab练习：如图,等边三角形ABC中,求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC60D0120120通过平移变成共起点！(2)数量积:a·b=|a||b|cos已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a|·|b|cos叫做a与b的数量积。（或内积）记作：a·b注意：“·”不能省略不写，也不能写为“×”，数学中“a×b”表示两个向量的向量积(或外积)a·b表示数量而不表示向量，与实数a·b不同,a+b、a-b表示向量；规定:0·a=0数量积:a·b=|a||b|cosị.已知|a|=5,|b|=4,a和b的夹角为60°,求a·b.a·b=|a|·|b|cos=5×4×cos60°=10变式练习：若θ=120°呢？θ=90°呢？若//ab呢?Δ.设|a|=12,|b|=9,a·b=-54√2求a和b的夹角.cos=a·b|a|·|b|=-54√212×9-√2∴=135°=2cos变式练习：若a·b=108呢？2.已知在△ABC中，BC=５，CA=８，∠C=６００，求BC.CA1.已知a=10，b=5,a.b=252,求a和b的夹角θ3.已知正ABC的边长为2，设,求,,BCaCAbABc.abbcca(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|特别地,a·a=a2=|a|2或|a|=√a·a.2.性质:a·b=|a||b|cos(1)a⊥ba·b=0.(3)cos=|a||b|a·b设a，b都是非零向量，判断下列命题是否正确1.若a=0,则对任意向量b，有a·b=0.2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a·b≠0.3.若a≠0,且a·b=0,则b=0.4.若a·b=0，则a=0或b=0.()(×)(×)(×)四、小结1.两向量夹角的范围是[0，]．2.||||cosabab3.数量积的性质．五、作业1.书本P1181(1)(2)P1201，32.思考题:你能用平面向量的数量积来表示三角形的面积吗?CABab