平面向量的概念及线性运算

§5.1平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称______)平面向量是自由向量零向量长度为______的向量；其方向是任意的记作______单位向量长度等于________的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向____或____的非零向量0与任一向量______或共线共线向量__________________的非零向量又叫做共线向量相等向量长度______且方向______的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度______且方向____的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝____________.(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________.减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差________法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝________；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向________；当λ0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝______λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝_______3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______.[难点正本疑点清源]1.向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.2.向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.1.化简OP→－QP→＋MS→－MQ→的结果为________.2.在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB→＝a，AD→＝b，则BE→＝____________.3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________.4.已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足PA→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为________.5.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()A.AO→＝OD→B.AO→＝2OD→C.AO→＝3OD→D.2AO→＝OD→题型一平面向量的概念辨析例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________.探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.(5)非零向量a与a|a|的关系是：a|a|是a方向上的单位向量.判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.(1)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab；(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等.题型二向量的线性运算例2在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AD→，AG→.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AG→.题型三平面向量的共线问题例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线.如图所示，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝13AC，在AB上取一点M，使得AM＝13AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝12BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ→＝λCM→时，AP→＝QA→，试确定λ的值.11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：(14分)如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.试用a和b表示向量OM→.审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.(2)既然OM→能用a、b表示，那我们不妨设出OM→＝ma＋nb.(3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解.规范解答解设OM→＝ma＋nb，则AM→＝OM→－OA→＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.AD→＝OD→－OA→＝12OB→－OA→＝－a＋12b.[3分]又∵A、M、D三点共线，∴AM→与AD→共线.∴存在实数t，使得AM→＝tAD→，即(m－1)a＋nb＝t－a＋12b.[5分]∴(m－1)a＋nb＝－ta＋12tb.∴m－1＝－tn＝t2，消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①[7分]又∵CM→＝OM→－OC→＝ma＋nb－14a＝m－14a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b.又∵C、M、B三点共线，∴CM→与CB→共线.[10分]∴存在实数t1，使得CM→＝t1CB→，∴m－14a＋nb＝t1－14a＋b，∴m－14＝－14t1n＝t1，消去t1得，4m＋n＝1.②[12分]由①②得m＝17，n＝37，∴OM→＝17a＋37b.[14分]批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD；若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线.失误与防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.§5.1平面向量的概念及线性运算(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.42.设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()A.PA→＋PB→＝0B.PC→＋PA→＝0C.PB→＋PC→＝0D.PA→＋PB→＋PC→＝03.已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A.k＝1且c与d同向B.k＝1且c与d反向C.k＝－1且c与d同向D.k＝－1且c与d反向二、填空题4.设a、b是两个不共线向量，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________.5.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.6.如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________.三、解答题7.如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a、b表示OM→、ON→、MN→.8.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？B组专项能力提升题组一、选择题1.已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB→＝λPA→＋PB→，其中λ∈R，则点P一定在()A.△ABC的内部B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上2.已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m等于()A.2B.3C.4D.53.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心二、填空题4.已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上).①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；②存在相异实数λ、μ，使λ·a＋μ·b＝0；③x·a＋y·b＝0(实数x，y满足x＋y＝0)；④若四边形ABCD是梯形，则AB→与CD→共线.5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为______.6.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________.7.已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________.三、解答题8.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.(1)求GA→＋GB→＋GO→；(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.答案要点梳理1.大小方向长度模零01个单位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2.三角形平行四边形(1)b＋a(2)a＋(b＋c)三角形(1)|λ||a|(2)相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb3.b＝λa基础自测1.OS→2.b－12a3.①②③4.－25.A题型分类·深度剖析例1②③变式训练1解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规