习题 第一章

11．设有一根长为l的均匀柔软的细弦作微小横振动，除受到内部张力外，还受到周围介质所产生的阻尼力作用，阻尼力与速度的平方成正比（比例系数为b），试写出带有阻尼力的弦振动方程。解：弦振动方程习题1P292ttxxuau2tub其中2解：热传导方程：20txxuau2．长为l的均匀细杆侧面绝热，内部无热源，一端温度恒为零度而另一端有恒定热流q流进杆内。若杆的初始温度为()(0)xxl试写出相应的定解问题。初始条件：(,0)(),uxx边界条件：(0,)0,(,)uutkltqx若左端温度为零，若右端温度为零，(,)0,(0,)uultktqx类似的，可以做第六题3解：热传导方程：20tuau初始条件：(,,,0)200uxyz边界条件：111()=27u0kuuukn其中类似的，可以做第四题4(1)(0,),(2,)sinuttutt(,),wxtvuw14.选已知函数作为函数代换将以下边界条件齐次化(x,t)(t)x+B(t)A方法二：设w方法一：与例题类似P12sin(,)2ttwxttx(0,)()wttBttsin(2,)sin()2ttwttAt再根据解：52(2)(0,)1,(,)1xutultt22(,)1(,)(1)()xwlttwxttxft2(0,)1(,)(1)1wtwxttx再根据解：方法一：(x,t)(t)x+B(t)A方法二：设w(0,)1()1wtBt22(,)1()1xwlttAtt再根据6(3)(0,)(),(3,)()xxuttutt()()(,)()3xttwxttx(0,)()()()xwttBtt()()(3,)()()6xttwttAt再根据2()()(,)()6ttwxttxx解：方法一：方法二：2(x,t)(t)x+B(t)xA设w72(4)(0,),(2,)(2,)xxuttututt22(0,)()xwttAtt2(2,)(2,)()3xtwttAttt再根据w(x,t)(t)x+B(t)A设w解：方法一：2(2,)(2,)()3xtwttfttt再根据w方法二：22(0,)(,)()xwttwxttxft82(1)txxuauxt(,),wxtvuw15.选已知函数作为函数代换将以下非齐次方程齐次化(2)sinxxyyuuxxy21(,)2wxtxt1sin()sinxxyyuuxwxx321()6xxyyuuxywxxy解：利用叠加原理解：911(1)(x)[0,l]}()sinnnnnnxlnxxl将在按正交函数系{sin展开如下傅里叶级数并求出该级数的傅里叶系数2=,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)0,(,0)(),0ttxxtuauxltutulttuxuxxxl16.考虑如下有界弦振动方程定解问题02()sin()lnnssdsll解：102(2)(,)sinsin=,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)0,(,0)sin,0nnttxxtnlnanuxttxnalluauxltutulttnuxuxxxll对于任意的整数n1，验证是如下问题的解解：(3)利用以上结果试写出定解问题的解解：带入即可叠加原理112(4)=,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(x),(,0)0,0ttxxtuauxltutulttuxuxxl试给出如下问题的解=1(,)cossinnnnanuxttxll解：注：本题是弦振动方程分离变量法2.2的特殊情形122(1)110rrruuurr利用极坐标变换x=rcos,y=rsin,拉普拉斯方程转化为如下形式27.考虑平面上的拉普拉斯方程，证明以下结果=0un(2),nn证明：对任意的正整数函数rcosn,y=rsinn都是平面上的调和函数。(3)0,(,)cos2sin3,(,)(2)uxyuxy设为圆心在坐标原点的单位圆，考虑下面问题用叠加原理和上面的中的结果求出该问题的解。13211=xxyyrrruuuuurrxrxxuuru解：(1)证明在极坐标系中22xxrrxrxxrxxxrxxxxuurururuuru22yyrryryyryyyryyyyuurururuurusincos,xxrryryyuurucossin,yyrr2222sincossinsinsincos2sincos(cos)()rrrrruuuuuurrrrr2222sincoscoscossincos2sincos(sin)()rrrrruuuuuurrrrr22sin2sincos,xxxxrrr22cos2sincos,yyyyrrr211=xxyyrrruuuuurr所以注：也可以证右边等于左边。14211=xxyyrrruuuuurr=cossinrxryrxyuuxuyuu方法二：证明右边等于左边=(sin)(cos)xyxyuuxuyurur22=(sin)+2(sin)(cos)(cos)(cos)(sin)xxxyxyyyuururrururur22=cos2sincos+sinrrxxxyyyuuuu222222111cos2sincos+sin(cossin)1[(sin)+2(sin)(cos)(cos)(cos)(sin)]=+rrrxxxyyyxyxxxyxyyyxxyyuuuuuuuurrrururrurururruu151cosnrunrn(2)直接验证2(1)cosnrrunnrn(3)根据叠加原理2cosnunrnsinnunrn212221111(1)coscos(cos)0nnnrrruuunnrnnrnnrnrrrr3cos2sin3urr