2018-2019学年山东省邹城市一中高二上学期12月月考数学试题(解析版)

第1页共16页2018-2019学年山东省邹城市高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．若复数，则其虚部为（）A．-1B．2C．-2D．【答案】B【解析】分析：利用复数的运算法则进行求解．详解：因为，所以复数的虚部为2.点睛：本题考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力．2．设函数（为自然对数的底数）.若，则（）A．B．C．D．1【答案】D【解析】分析：利用函数的求导法则求导，再代值求导．详解：因为，所以数，若，所以1点睛：本题考查导数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力．3．,是距离为2的两定点，动点M满足∣∣+∣∣=4,则M点的轨迹是A．椭圆B．直线C．线段D．圆【答案】A【解析】由椭圆的定义可判断M点的轨迹是椭圆.【详解】由椭圆的定义，,是距离为2的两定点，则动点M满足∣∣+∣∣=4,即，则M点的轨迹是椭圆.故选A.【点睛】本题考查椭圆的定义，属基础题.第2页共16页4．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程为，双曲线过点所求双曲线方程为，即为，故选B.5．在区间上的最小值是A．B．0C．1D．【答案】C【解析】先判断函数在的单调性，继而求出最小值．【详解】∵f（x）=x-lnx，∴函数的定义域为（0，+∞），由f′（x）=0得x=1．当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；由此可知，函数f（x）在上递减，在（1，e]上递增，∴当x=1是函数f（x）的最小值点，f（1）=1-0=1故f（x）的最小值是1．故选C.【点睛】本题主要考查运用导数解决函数的最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间.6．与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是（）A、（32222,,1052）和（32222,,1052）；第3页共16页B、（32222,,1052）；C、（32222,,1052）和（32222,,1052）；D、（32222,,1052）；【答案】A【解析】根据共线的定义可得，设与向量(3,4,5)共线的单位向量为(3,4,5)kkk，所以2222(3)(4)(5)501kkkk，可得210k，所以与向量(3,4,5)共线的单位向量为32222(,,)1052或32222(,,)1052，故选A。7．若kxxfxxfx)()(lim000，则xxfxxfx)()2(lim000等于（）A．k2B．kC．k21D．以上都不是【答案】A【解析】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念。解：xxfxxfx)()2(lim000=0020(2)()2lim2xfxxfxx=k2，故选A。8．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查函数的导数与单调性.从导数的图象可知，函数有，两个极值点，其中是极小值，是极大值.第4页共16页当时，则在递减；当时，则在在递增；当时，则在在递增递减观察上面的函数图象，符合条件的只有C9．已知正方形的顶点为椭圆的焦点，顶点在椭圆上，则此椭圆的离心率为A．B．C．D．【答案】D【解析】设椭圆方程为，可得正方形边长AB=2c，再根据正方形的性质，可计算出最后可得椭圆的离心率【详解】设椭圆方程为，∵正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，∴焦距2c=AB，其中∵BC⊥AB，且BC=AB=2c，∴，根据椭圆的定义，可得∴椭圆的离心率故选：D．【点睛】本题给出椭圆以正方形的一边为焦距，而正方形的另两个顶点恰好在椭圆上，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单性质，属于基础题．10．如图,是直三棱柱，∠BCA=90°，点、分别是、的中点,若，则与所成角的余弦值是第5页共16页A．B．C．D．【答案】D【解析】取BC的中点D，连接D1F1，F1D，AD．利用三角形的中位线定理可得D1B∥D1F，因此∠DF1A就是BD1与AF1所成角或其补角．在△DF1A中利用余弦定理即可得出．【详解】取BC的中点D，连接D1F1，F1D，AD．∴D1B∥D1F，∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角或其补角．设BC=CA=CC1=2，则．在△DF1A中，利用余弦定理可得．故选D．【点睛】本题考查了异面直线所成的夹角、三角形的中位线定理、余弦定理、勾股定理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．11．函数的图像在区间上连续不断，且，，则对任意的都有A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意构造函数求出h（x）的导数，由条件判断出h′（x）的符号，得到函数在区间上的单调性，由单调性的定义和选项列出不等第6页共16页式，再化简即可．【详解】由题意设所以，因为，所以则函数h（x）在[a，b]上单调递增，因为b＞a，所以h（b）＞h（x）或h（x）＞h（a），即或，所以或，故选：B．【点睛】本题考查导数与函数的单调性的关系，函数单调性的定义的应用，考查构造函数法，构造恰当的函数是解题的关键，属于中档题．12．对实数和，定义运算“”：,设函数若函数的图像与轴恰有三个公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据依题意确定函数f（x）的解析式，画出函数图象，通过观察确定c的范围．【详解】第7页共16页有定义可得，当≤时，即-1≤x≤2时，f（x）=，当＞时，即x＞2或x＜-1，f（x）=函数图象如图：=f（x）-c的图象是由函数f（x）向下平移c个单位获得的，如图，要使函数图象与x轴恰有三个交点，函数的极大值极小值由此解得.故选B.【点睛】本题主要考查了函数图象与性质，函数图象的平移，分段函数的应用．注重了对数形结合的思想的运用．二、填空题13．抛物线22xy的准线方程是__________．【答案】12y【解析】因为22xpy准线方程是2py,所以抛物线22xy的准线方程是12y14．设复数满足（为虚数单位），则的值为__________．【答案】.第8页共16页【解析】分析：由条件得到复数的代数形式，即可求得复数模长.详解：因为，所以==，所以点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力．15．在图四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝3GD，＝a，＝b，＝c，=_________.（用基底{a，b，c}表示向量）【答案】【解析】由题意画出图形，然后利用向量加减法的三角形法则求得．【详解】如图，.第9页共16页故答案为．【点睛】本题考查空间向量的基本定理及其意义，考查向量加减法的三角形法则，是基础题．16．已知，函数定义域中任意的，有如下结论：①；②；③④上述结论中正确结论的序号是_______________.【答案】①③【解析】对于①②分别表示在处切线斜率表示与两点连线的斜率，画出的图象，数学数学结合判断出①对，②错；对于③，由于是增函数，故有成立，故③正确；对于④，的图象上凸性质，所以有，故④不正确，故答案为①③.三、解答题17．已知复数(，为虚数单位)(1)若是纯虚数，求实数的值；(2)若，设()，试求.【答案】（1）；（2）第10页共16页【解析】分析：（Ⅰ）先把复数整理成的形式，由虚部等于0得到实数的值；（Ⅱ）把复数整理成的形式，根据复数相等的条件得到的值进而求出。详解：（Ⅰ）若是纯虚数，则，解得.（Ⅱ）若，则.∴，∴，，∴.点睛：本题考查纯虚数和复数相等的概念，以及复数的四则运算。对于复数要掌握常规运算技巧和常规思路，其次要熟记复数的实部、虚部、模、几何意义、共轭复数等知识点．18．已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I）的定义域为.当时，，曲线在处的切线方程为第11页共16页（II）当时，等价于设，则，（i）当，时，，故在上单调递增，因此；（ii）当时，令得.由和得，故当时，，在单调递减，因此.综上，的取值范围是【考点】导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性【名师点睛】求函数的单调区间的方法：（1）确定函数y＝f（x）的定义域；（2）求导数y′＝f′（x）；（3）解不等式f′（x）0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式f′（x）0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角C-EM-N的正弦值；【答案】（1）见解析；（2）第12页共16页【解析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值，进一步求得正弦值；【详解】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则设平面MEN的一个法向量为由，得，取z=2，得由图可得平面CME的一个法向量为∴．∴二面角C-EM-N的余弦值为，则正弦值为.第13页共16页【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．20．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距640米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建个桥墩，记余下工程的费用为万元.（1）试写出关于的函数关系式；（注意：）（2）需新建多少个桥墩才能使最小？【答案】（1）；（2）9【解析】（1）利用两墩相距m米，写出n关于x的函数关系式；（2）根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（3）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．【详解】（1）即所以（）（2）由（1）知，令，得，所以=64当064时0，在区间（0，64）内为减函数；当时，0.在区间（64，640）内为增函数，第14页共16页所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小【点睛】本题考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．21．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，点2,2在C上（1）求C的方程（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点,AB，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.【答案】（1）22184xy（2）12OMkk