6.4 静定结构在荷载作用下的位移计算

AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®6.4静定结构在荷载作用下的位移计算6.4.1在荷载作用下位移计算的一般公式当仅考虑荷载作用时，无支座位移项vFuFMΔdddQN式中，d、du和dv是实际状态中由荷载引起的微段ds上的变形位移，对于弹性结构可由6.1节公式（6-4）进行计算，只是须注意，该公式中的各内力M、FN、FQ，应具体采用由实际状态中的荷载引起的内力MP、FNP、FQP。(a)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®sGAFsEAFFsEIMMΔdFddQPQNPNP（6-10）如果各杆均为直杆，则可用dx代替ds，即xGAFxEAFFxEIMMΔdFddQPQNPNP（6-11）MP、FNP、FQP——实际荷载引起的内力；、、——虚设单位荷载引起的内力。MNFQF平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式6.4.1在荷载作用下位移计算的一般公式AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®关于内力的正负号可规定如下：轴力FNP、——以拉力为正；6.4.1在荷载作用下位移计算的一般公式剪力FQP、——以使微段顺时针转动者为正；弯矩MP、——只规定乘积的正负号。当与MP使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取正值。MMPMMAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®6.4.2各类结构的位移公式1、梁和刚架在梁和刚架中，位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响较小，因此，位移公式可简化为sEIMMΔdP（6-12）AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®2、桁架在桁架中，在结点荷载作用下，各杆只受轴力，而且每根杆的截面面积A以及轴力和FNP沿杆长一般都是常数，因此，位移公式可简化为EAlFFsEAFFΔNPNNPNd（6-13）AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®3、桁梁组合结构在桁梁组合结构中，梁式杆主要受弯曲，桁杆只受轴力，因此位移公式可简化为sEAFFsEIMMΔddNPNP（6-14）AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®4、拱计算表明，通常只需考虑弯曲变形的影响，即可按式（6-12）计算。但当拱轴线与压力线比较接近（即两者的距离与杆件的截面高度为同量级），或者是计算扁平拱（f/l1/5）中的水平位移时，则还需要考虑轴向变形的影响，即有sEAFFsEIMMΔddNPNP（6-15）而像拱坝一类的厚度较大的拱形结构，剪切变形的影响则需一并考虑。本节中所列出的在荷载作用下的位移计算公式，不仅适用于静定结构，也同样适用于超静定结构。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®6.4.3单位荷载法的计算步骤1）列写在实际荷载作用下的MP的表达式（或作出荷载弯矩图MP图）；2）加相应的单位荷载，列写的表达式（或作出单位弯矩图图）；MM3）计算位移值：将和MP代入公式（6-12），求出拟求位移D。注意：须在计算所得的位移值后，加圆括号，注明实际方向MAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例6-1】试求图示简支梁在均布荷载作用下跨中截面C的竖向位移（即挠度）DCV。已知EI=常数。解：(1)列写在实际荷载作用下的MP的表达式建立x坐标，如图6-9a所示。当0≤x≤l时，有)(22PxlxqMABCKqlxql/2ql/2ql2/8ABCKMP图)(22PxlxqMAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(2)列写在虚单位荷载作用下的的表达式根据拟求DCV，在点C加一竖向单位荷载，作为虚拟状态，如图6-9b所示。当0≤x≤l/2时，有2xMAABBCCKKxl/2l/42xM1/21/21M图AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®)(3845d)(2d)(2212d24203220220PVEIqlxxlxEIqxxlxqxEIxEIMMΔlllC计算结果为正，说明点C竖向位移的方向与虚拟单位荷载的方向相同，即向下。(3)计算位移值AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例6-2】试求图示简支刚架点D的水平位移DDH。已知EI=常数。解：)(32d))((2d3P0P0PHEIlFxxFxEIxEIMMΔllDFPABCDllxxABCDFPlFPlFPxMP=FPxMP图ABCD1xM1xM1图MllAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®例6-3】试求图示简支曲梁点A的水平位移DAH。已知EI=常数。解：(1)列写在实际荷载作用下的MP的表达式当0≤x≤a时，xFlalMPP当a≤x≤l时，)(PPxlFlaM)(42xlxlfyAABBflal-aCDxyFPFPDK1K2xxl-x(0≤x≤a)(a≤x≤l)xFlalMPP)(PPxlFlaMPFlaPFlalAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(2)列写在虚单位荷载作用下的的表达式当0≤x≤l时，)(42xlxlfyM(3)计算位移值)())((3d)()(41d)(41d222PP20P20PHalaallEIlafFxxlFlaxlxlfEIxxFll-axlxlfEIxEIMMΔlaalAABxyyM11AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®21AAΔ【例6-4】试求图示体系中A1与A2截面水平相对错动的位移。已知EI、EA、GA均为常数。解：(1)列写在实际荷载作用下的MP、FNP和FQP的表达式sinPPRFMsinPNPFFcosPQPFFA1A2FPKdsORdORA1FPKMPFNPFQPAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®sinsin1RRMcoscos1,sinsin1QNFFA1A21KdsORdORA11KMNFQF(2)列写在虚单位荷载作用下的、和的表达式MNFQFAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(3)计算位移值223Pπ02Pπ02Pπ022PQPQNPNP1πdcos2dsin2dsin2dFdd21GAREIARIEIRFRFGARFEARRFEIsGAFsEAFFsEIMMΔAAAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®为了比较弯矩、轴力及剪力对位移的影响，设截面为圆形截面，A=pr2；r=R/10；m=10/9，E=2.5G；I=pr4/4。代入最后计算式，求得135140011π3P21EIRFΔAA223P1π21GAREIARIEIRFΔAA由此可见：轴向力及剪力对该位移的影响还不到弯矩影响的1%。因此，在计算位移时，可只考虑弯矩的影响而采用式（6-12）计算。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®解：(1)计算在实际荷载作用下各杆的轴力FNP(2)在点A加水平单位荷载，求各杆的轴力1NF(3)在点A加竖向单位荷载，求各杆的轴力2NF【例6-5】试求图示桁架结点A的水平位移DAH及垂直位移DAV。AFP-FPFPFPPF2aaA11A1112-1AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(4)计算位移值)(])()1[(1PPNPN1HEAaFaFEAEAlFFΔA)()221(])()1(222[1PPPNPN2VEAaFaFaFEAEAlFFΔAAFP-FPFPFPPF2aaA11A1112-1AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例6-6】试求图示组合结构点A的水平位移DAH及竖向位移DAV。已知EI、EA均为常数。解：(1)求实际荷载作用下梁式杆的MP图和桁杆的FNPABCDFPaaaxEIEAEAFPABCDKFP2PF2PF2aFP2xFMPPAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(3)根据拟求位移DAV，在点A加竖向单位荷载，并求出梁式杆的图和桁杆的2NF2MABCDFPaaaxEIEAEAFPABCDKFP2PF2PF2aFP2xFMPPABCDKaa1112aM1(2)根据拟求位移DAH，在点A加水平单位荷载，并求出梁式杆的图和桁杆的1NF1MABCDK12aaxaM21AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(4)计算位移值)(242)2)()(2(d2)(1dP3PP0PNPN10P1HEAaFEIaFEAaFxxFaEIEAlFFxEIMMΔaADaA)(1225d2)(10d3P0P0P2VEIaFxxFxaEIxEIMMΔaaAFPABCDKFP2PF2PF2aFP2xFMPPABCDKaa1112aM1ABCDK12aaxaM21