32变化的快慢与变化率

§1变化的快慢与变化率教材：普通高中课程标准实验教科书（北师大版）（选修2-2）第二章第1节第1课时世界充满着变化，有些变化几乎不被人们察觉，而有些变化却让人们感叹与惊讶!树高:15米树龄:1000年高:15厘米时间:两天银杏树雨后春笋(2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？想一想本题说明:△y与△t中仅比较一个量的变化是不行的.汽车加速性能的测定保时捷911vs法拉利360品牌型号保时捷911法拉利360图片加速时间（s）0-100km/h4.14.5速度变化越快，汽车的加速性就越好。用什么数学表达式来描述汽车的速度变化的快慢?过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。oxyBCBCxxyyk容易看出点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更加“陡峭”.如何量化陡峭程度呢？该比值近似量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度.称该比值为曲线在B,C之间这一段平均变化率.●B●A●C交流与讨论保持量（百分数）天数10204060801002345…………21.1%一个月后25.4%6天后27.8%2天后33.7%1天后35.8%8-9小时之后44.2%1小时之后58.2%20分钟之后100%刚刚记忆完毕记忆保持量时间间隔德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据艾宾浩斯遗忘曲线探究·拓展物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，在运动的过程中测得了一些数据，如下表.t(秒)025101315…s(米)069203244…物体在0～2秒和10～13秒这两段时间内，哪一段时间运动得更快？时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃[情境]某市2004年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载.温差15.1℃温差14.8℃[问题2]你能用数学语言来解释BC段曲线的陡峭程度吗？18.63.5o1323433.4t(d)T(oC)A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)气温曲线yC-yBxC-xB化曲为直苏教版选修1-1平均变化率[问题3]如果将上述气温曲线看成是函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为o134xyACy=f(x)f(1)f(34)134)1()34(fff(34)-f(1)34-1苏教版选修1-1平均变化率[问题3]如果将上述气温曲线看成是函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为在区间[1，x1]上的平均变化率为o134xyACy=f(x)x1f(x1)f(1)f(34)1)1()(11xxff134)1()34(ff苏教版选修1-1平均变化率[问题3]如果将上述气温曲线看成是函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为在区间[1，x1]上的平均变化率为在区间[x2，34]上的平均变化率为o1x234xyACy=f(x)x1f(x1)f(x2)f(1)f(34)1)1()(11xxff2234)()34(xxff134)1()34(ff你能否归纳出“函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率”的一般性定义吗？归纳概括1平均变化率的定义:2121()()fxfxxx一般地,函数在区间上的平均变化率为:()fx12[,]xx=△xx2-x1xyB(x2,f(x2))A(x1,f(x1))0f(x2)-f(x1)=△y2121()()fxfxyxxx2平均变化率的几何意义：曲线上两点连线的斜率.()yfx11(,())xfx、22(,())xfx平均变化率的定义：)(xf一般地，函数在区间上的平均变化率为12[,]xx2121()()fxfxxx(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．建构数学理论说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.yx（以直代曲思想）（数形结合思想）“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚()()2121fxfxxx一般地，函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为x0y1x2x1()fx2()fxxy平均变化率是曲线陡峭程度的数量化曲线陡峭程度是平均变化率的视觉化构建数学模型一般地,函数在区间上的平均变化率为:()fx12[,]xx2121()()fxfxxx平均变化率38.5390.50.02520020(C/min)3838.50.053020(C/min)解：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间x从0min到20min和从20min到30min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？y/(oC)x/min01020304050607036373839体温从0min到20min的平均变化率是：体温从20min到30min的平均变化率是：∴后面10min体温变化较快0.050.025数学应用1.已知函数f(x)=2x+1,分别计算在区间[-1,1],[0,5]上的平均变化率.3.变式二:函数f(x):=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率.2.变式一:求函数f(x)=2x+1在区间[m,n]上的平均变化率.答案：都是2答案：还是2答案：是k一般地，一次函数f(x)=kx+b（k≠0）在任意区间[m,n](mn)上的平均变化率等于k.一般地,函数在区间上的平均变化率为:()fx12[,]xx2121()()fxfxxx平均变化率探索思考4.变式三:求函数f(x)=x2在区间[-1,1]上的平均变化率.答案：是0一般地,函数在区间上的平均变化率为:()fx12[,]xx2121()()fxfxxx平均变化率探索思考平均变化率的缺点:y1C3C2CxO1x2xAB它不能具体说明函数在这一段区间上的变化情况.探索思考5.变式四:已知函数f(x)=x2,分别计算在区间[1，3],[1，2],[1，1.1],[1，1.01],[1，1.001]上的平均变化率.答案：在这5个区间上的平均变化率分别是:4、3、2.1、2.01、2.001规律：当区间的右端点逐渐接近1时，平均变化率逐渐接近2.一般地,函数在区间上的平均变化率为:()fx12[,]xx2121()()fxfxxx平均变化率例2、已知函数f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001].432.12.001（5）[0.9，1]；（6）[0.99，1]；（7）[0.999，1].变题:1.991.91.999课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？数学应用xyp131.平均变化率的定义：1212()()fxfxyxxx这节课我的收获是什么？2.平均变化率的意义:小结回顾3.求平均变化率的步骤：4.思想方法：大量生活中的实例建立数学模型数学应用