椭圆一轮复习课件

第八章第四节椭圆泰安二中数学2020年1月29日星期三重点难点引领方向重点：椭圆的定义、标准方程及几何性质．难点：椭圆的几何性质及其应用，椭圆方程的求法．基础梳理导学夯实基础稳固根基1．椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．2．椭圆的标准方程与几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2b2＋y2a2＝1(ab0)图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于和原点对称顶点轴长轴长，短轴长性质离心率e＝(0e1)x轴、y轴(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)2a2bca疑难误区点拨警示1．椭圆的定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)中，|x|≤a，|y|≤b的范围在求有关最值时不要漏掉．一、函数与方程的思想、待定系数法1．在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，运用函数的方法解决．2．求椭圆方程时，焦点位置不明确要分类讨论．思想方法技巧3．求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解．二、解题技巧1．求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0)，可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A0，B0)，这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便．2．焦点三角形问题椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形．习惯上称为焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：①定义②正、余弦定理③三角形面积．3．求椭圆的离心率时，常常要列出a、b、c的一个齐次方程，结合b2＝a2－c2，两边同除以a2化为e(e＝ca)的二次方程求解．4．椭圆上点M到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.[例1]如图所示，A、B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝2，若MF⊥OA，则椭圆的标准方程为________．椭圆的标准方程考点典例讲练分析：欲确定椭圆的标准方程需求a、b的值，又已知c＝2，∴a2－b2＝2，只需再建立a、b的一个方程，组成方程组即可获解，注意到MF⊥OA，及M在椭圆上，M又在直线OC上，据此可列出a，b的关系式．解析：设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则A(a,0)，B(0，b)，C(a2，b2)，F(a2－b2，0)．依题意得a2－b2＝2，即a2－b2＝2.又MF⊥OA，则FM所在的直线方程是x＝2，代入椭圆方程得y＝±baa2－2.结合图象可知M点的坐标为(2，baa2－2)．由于O、C、M三点共线，所以ba2－2a2＝b2a2，即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2.所以所求椭圆的标准方程为x24＋y22＝1.答案：x24＋y22＝1与椭圆x24＋y23＝1有相同的离心率，焦点在x轴上，且经过点(2，－3)的椭圆方程为()A.x28＋y26＝1B.x23＋y24＝1C.x28＋y26＝1或x23＋y24＝1D.x212＋y29＝1解析：设所求椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意知a2－b2a2＝14，4a2＋3b2＝1，解之得a2＝8，b2＝6，故选A.答案：A点评：可用验证选项淘汰法解答.[例2](2011·新课标全国)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．椭圆的定义分析：由直线l过F1交椭圆C于A、B两点，△ABF2的周长为16，结合椭圆的定义可求a，再结合离心率可求c，由a2－b2＝c2可求得b.解析：根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵e＝22，∴ca＝22，根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，∴c＝22，b2＝a2－c2＝8，所以椭圆方程为x216＋y28＝1.答案：x216＋y28＝1已知点M(3，0)，椭圆x24＋y2＝1与直线y＝k(x＋3)交于点A、B，则△ABM的周长为()A．4B．8C．12D．16解析：直线y＝k(x＋3)过定点N(－3，0)，而M、N恰为椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.答案：B[例3](文)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于()A.513B.1213C.35D.45椭圆的离心率解析：设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9或a－c＝9，又b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，故a＋c＝9，a－c＝4，∴a＝132，c＝52，∴e＝ca＝513.答案：A(理)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是()A.32B.22C.2－1D.2分析：由AB⊥F1F2及△ABF2为等腰直角三角形可知△AF1F2为等腰直角三角形，从而|AF1|＝|F1F2|.解析：∵△ABF2是等腰直角三角形，∴|AF1|＝|F1F2|，将x＝－c代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1得A(－c，±b2a)，从而b2a＝2c，即a2－c2＝2ac，整理得e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±2，由e∈(0,1)得e＝2－1.答案：C(2012·江西文，8)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B.55C.12D.5－2解析：本题考查椭圆方程，等比数列知识、离心率等．∵A、B分别为左右顶点，F1、F2分别为左右焦点，∴|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝55.答案：B点评：要求离心率，应找到a、c关系.[例4]椭圆x216＋y225＝1上点P到两焦点距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标为________．椭圆中的最值问题解析：a＝5，b＝4，设两焦点为F1、F2，则|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝100≥4|PF1||PF2|，∴m＝|PF1|·|PF2|≤25.当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时等号成立．∴点P在x轴上，∴P(±4,0)．答案：(4,0)或(－4,0)(文)若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8解析：由题易知F(－1,0)，设P(x，y)，其中－2≤x≤2，则OP→·FP→＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋3－34x2＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2当x＝2时，(OP→·FP→)max＝6.答案：C(理)(2011·山东省临沂市质检)设P是椭圆x225＋y29＝1上一点，M、N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为()A．9,12B．8,11C．8,12D．10,12解析：由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF1|＋|PF2|＝10，∴(|PM|＋|PN|)min＝10－2＝8，(|PM|＋|PN|)max＝10＋2＝12，故选C.答案：C点评：∵圆外一点P到圆上所有点中距离的最大值为|PC|＋r，最小值为|PC|－r，其中C为圆心，r为半径，故只要连接椭圆上的点P与两圆心M、N，直线PM、PN与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM|＋|PN|＋两圆半径和，最小值为|PM|＋|PN|－两圆半径和.[例5](文)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．综合应用解析：(1)将(0,4)代入C的方程得16b2＝1，∴b＝4，又由e＝ca＝35得，a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925，∴a＝5，∴C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程得，x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝3－412，x2＝3＋412，∴AB的中点坐标x＝x1＋x22＝32，y＝y1＋y22＝25(x1＋x2－6)＝－65，即中点为(32，－65)．(理)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解析：(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由已知得：a＋c＝3，a－c＝1，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx＋mx24＋y23＝1得，(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，∴Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)0，即3＋4k2－m20，x1＋x2＝－8mk3＋4k2，x1·x2＝4m2－33＋4k2，又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3m2－4k23＋4k2，因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，∴kADkBD＝－1，即y1x1－2·y2x2－2＝－1.∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.∴3m2－4k23＋4k2＋4m2－33＋4k2＋16mk3＋4k2＋4＝0.∴7m2＋16mk＋4k2＝0.解得m1＝－2k，m2＝－2k7，且均满足3＋4k2－m20.当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m2＝－2k7时，l的方程为y＝kx－27，直线过定点27，0.所以，直线l过定点，定点坐标为27，0.(文)(2012·河北保定模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，且过点Q(1，22)．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P点在直线x＋y－1＝0上，且满足OA→＋OB→＝tOP→(O为坐标原点)，求实数t的最小值．解析：(1)设椭圆的焦距为2c，∵离心率为22，∴(ca)2＝12，∴a2＝2c2，b2＝c2.设椭圆方程为x22c2＋y2c2＝1，又点Q(1，22)在椭圆上，∴12c2＋12c2＝1，∴c2＝1，∴椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由y＝kx－2，x22＋y2＝1.得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2