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试卷第1页,总60页圆培优竞赛1.如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C、D,若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是()A.51312B.125C.3135D.2133【答案】B.【解析】试题分析:如答图,连接PO,AO,取AO中点G,连接AG,过点A作AH⊥PO于点H,∵PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,∴PA=PB,CA=CE,DB=DE,∠APO=∠BPO,∠OAP=90º.∵△PCD的周长等于3r,∴PA=PB=3r2.∵⊙O的半径为r,∴在Rt△APO中,由勾股定理得22313POtrr22.∴13GOr4.∵∠OHA=∠OAP=90º,∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP.∴AHOHOAPAOAOP,即AHOHr3r13rr22.∴313213AHr,OHr1313.∴13213513GHGOOHrrr41352.∵∠AGH=2∠APO=∠APB,∴AH12tanAPBtanAGHG313r13513r5H52.故选B.考点:1.切线的性质;2.切线长定理;3.勾股定理;4.相似三角形的判定和性质;5.锐角三角函数定义;6.直角三角形斜边上中线的性质;7.转换思想的应用.2.如图,以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形试卷第2页,总60页ABCD的顶点A、B在大圆上,小圆在正方形的外部且与边CD切于点Q.若正方形的边长为有理数,则R、r的值可能是().A.R=5,r=2B.R=4,r=3/2C.R=4,r=2D.R=5,r=3/2【答案】D【解析】本题考查圆和勾股定理的综合应用,在竞赛思维训练中有典型意义。可以将选项中的数据代入圆中,看是否满足条件。做圆心O和正方形中心O。设正方形边长为a。设AB中点为H,连接OH并延长,交大圆于点Ja2rRJO'ODBACPQG则连接OA.由勾股定理有22aOHR,22aJHRR所以2222araRRR。将各个选项数据代入,知D正确。3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,点E在中线AD上,以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,则⊙E的半径为().BCDMEMA试卷第3页,总60页A.78B.67C.56D.1【答案】B.【解析】试题分析:作EH⊥AC于H,EF⊥BC于F,EG⊥AB于G,连结EB,EC,设⊙E的半径为R,如图,∵∠C=90°,AB=5,AC=3,∴BC=224ABAC,而AD为中线,∴DC=2,∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,∴EG=EF=R,∴HC=R,AH=3-R,∵EH∥BC,∴△AEH∽△ADC,∴EH:CD=AH:AC,即EH=2(3)3R,∵S△ABE+S△BCE+S△ACE=S△ABC,∴12×5×R+12×4×R+12×3×2(3)3R=12×3×4,∴R=67.故选B.考点:切线的性质.4.如图,过D、A、C三点的圆的圆心为E,过B、E、F三点的圆的圆心为D,如果∠A=63º,那么∠B=.【答案】18°【解析】连接ED,CE,由图可知∠B=∠DEB,∠ECD=∠EDC=2∠B∵∠A=63º,∴∠ECA=63º∴∠A+∠ECA+∠ECD+∠B=180º∴∠B=18°5.如图,在以O为圆心的两个同心圆图2中,MN为大圆的直径,交小圆于点P、Q,大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2,OP=1,MA=AB=BC,则△MBQ的面积为.试卷第4页,总60页【答案】315/8【解析】小圆方程x2+y2=1MC方程y=k(x+2),x=2yk解y1=222131kkkky2=222131kkkk,12yy=22213213kk=22+213k=4-2213k3213k=21-3k2=49k=527此时AM=1.5,MB=6MC=362B点坐标为(14,52749)MBQ面积=32527493/2=278527=31586.如图,已知⊙O的半径为9cm,射线PM经过点O,OP=15cm,射线PN与⊙O相切于点Q.动点A自P点以25cm/s的速度沿射线PM方向运动,同时动点B也自P点以2cm/s的速度沿射线PN方向运动,则它们从点P出发s后AB所在直线与⊙O相切.试卷第5页,总60页【答案】0.5s或10.5s.【解析】试题分析:PN与⊙O相切于点Q,OQ⊥PN,即∠OQP=90°,在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值,过点O作OC⊥AB,垂足为C.直线AB与⊙O相切,则△PAB∽△POQ,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出t的值.试题解析:连接OQ,∵PN与⊙O相切于点Q,∴OQ⊥PN,即∠OQP=90°,∵OP=15,OQ=9,∴PQ=2210612(cm).过点O作OC⊥AB,垂足为C,∵点A的运动速度为52cm/s,点B的运动速度为2cm/s,运动时间为ts,∴PA=52t,PB=2t,∵PO=15,PQ=12,∴PAPBPOPQ,∵∠P=∠P,∴△PAB∽△POQ,∴∠PBA=∠PQO=90°,∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°,∴四边形OCBQ为矩形.∴BQ=OC.试卷第6页,总60页∵⊙O的半径为,∴BQ=OC=9时,直线AB与⊙O相切.①当AB运动到如图1所示的位置,BQ=PQ-PB=12-2t,∵BQ=9,∴8-4t=9,∴t=0.25(s).②当AB运动到如图2所示的位置,BQ=PB-PQ=2t-12,∵BQ=9,∴2t-12=9,∴t=10.5(s).∴当t为0.5s或10.5s时直线AB与⊙O相切.考点:1.切线的判定;2.勾股定理;3.矩形的性质;4.相似三角形的判定与性质.7.(本题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,点M(2,2),以点M为圆心,OM长为半径作⊙M,使⊙M与直线OM的另一交点为点B,与x轴、y轴的另一交点分别为点D,A(如图),连接AM点P是弧AB上的动点.(1)写出∠AMB的度数;(2)点Q在射线OP上,且OP·OQ=20,过点Q作QC垂直于直线OM,垂足为C,直线QC交x轴于点E.①当动点P与点B重合时,求点E的坐标;②连接QD,设点Q的纵坐标为t,△QOD的面积为S,求S与t的函数关系式及S的取值范围.【答案】(1)90°;(2)①(52,0);②S=2t,5≤S≤10.【解析】试卷第7页,总60页试题分析:(1)首先过点M作MH⊥OD于点H,由点M(2,2),可得∠MOH=45°,OH=MH=2,继而求得∠AOM=45°,又由OM=AM,可得△AOM是等腰直角三角形,继而可求得∠AMB的度数;(2)①由OH=MH=2,MH⊥OD,即可求得OD与OM的值,继而可得OB的长,又由动点P与点B重合时,OP•OQ=20,可求得OQ的长,继而求得答案;②由OD=22,Q的纵坐标为t,即可得S=1222t=2t,然后分别从当动点P与B点重合时,过点Q作QF⊥x轴,垂足为F点,与当动点P与A点重合时,Q点在y轴上,去分析求解即可求得答案.试题解析:(1)过点M作MH⊥OD于点H,∵点M(2,2),∴OH=MH=2,∴∠MOD=45°,∵∠AOD=90°,∴∠AOM=45°,∵OM=AM,∴∠OAM=∠AOM=45°,∴∠AMO=90°,∴∠AMB=90°;(2)①∵OH=MH=2,MH⊥OD,∴OM=22MHOH=2,OD=2OH=22,∴OB=4,∵动点P与点B重合时,OP•OQ=20,∴OQ=5,∵∠OQE=90°,∠POE=45°,∴OE=52,∴E点坐标为(52,0);②∵OD=22,Q的纵坐标为t,∴S=1222t=2t,如图2,当动点P与B点重合时,过点Q作QF⊥x轴,垂足为F点,∵OP=4,OP•OQ=20,∴OQ=5,∵∠OFC=90°,∠QOD=45°,∴t=QF=522,此时S=5222=5;如图3,当动点P与A点重合时,Q点在y轴上,∴OP=22,∵OP•OQ=20,∴t=OQ=52,此时S=252=10;∴S的取值范围为5≤S≤10.试卷第8页,总60页考点:圆的综合题.8.(本题满分10分)如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连结EF、EO,若DE=23,∠DPA=45°.(1)求⊙O的半径;(2)求图中阴影部分的面积.【答案】(1)2;(2)2.【解析】试题分析:(1)根据垂径定理得CE的长,再根据已知DE平分AO得CO=12AO=12OE,解直角三角形求解.(2)先求出扇形的圆心角,再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可.试题解析:(1)∵直径AB⊥DE,∴CE=12DE=3.∵DE平分AO,∴CO=12AO=12OE.又∵∠OCE=90°,∴sin∠CEO=COEO=12,∴∠CEO=30°.在Rt△COE中,OE=cos30CE=332=2,∴⊙O的半径为2;(2)连接OF.在Rt△DCP中,∵∠DPC=45°,∴∠D=90°﹣45°=45°,∴∠EOF=2∠D=90°,∴OEFS扇形=2902360=π.∵∠EOF=2∠D=90°,OE=OF=2,∴RtOEFS=12×OE×OF=2,∴S阴影=RtOEFOEFSS扇形=2.考点:1.扇形面积的计算;2.线段垂直平分线的性质;3.解直角三角形.试卷第9页,总60页9.如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t(秒)(1)t为何值时,四边形APQD为矩形.(2)如图(2),如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t为何值时,⊙P和⊙Q外切?【答案】(1)4;(2)t为4s,203s,283s时,⊙P与⊙Q外切.【解析】试题分析:(1)四边形APQD为矩形,也就是AP=DQ,分别用含t的代数式表示,解即可;(2)主要考虑有四种情况,一种是P在AB上,一种是P在BC上时.一种是P在CD上时,又分为两种情况,一种是P在Q右侧,一种是P在Q左侧.并根据每一种情况,找出相等关系,解即可.试题解析:(1)根据题意,当AP=DQ时,四边形APQD为矩形.此时,4t=20-t,解得t=4(s).答:t为4时,四边形APQD为矩形(2)当PQ=4时,⊙P与⊙Q外切.①如果点P在AB上运动.只有当四边形APQD为矩形时,PQ=4.由(1),得t=4(s);②如果点P在BC上运动.此时t≥5,则CQ≥5,PQ≥CQ≥5>4,∴⊙P与⊙Q外离;③如果点P在CD上运动,且点P在点Q的右侧.可得CQ=t,CP=4t-24.当CQ-CP=4时,⊙P与⊙Q外切.此时,t-(4t-24)=4,解得t=203(s);④如果点P在CD上运动,且点P在点Q的左侧.当CP-CQ=4时,⊙P与⊙Q外切.此时,4t-24-t=4,解得t=283(s),∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s,点Q从C开始沿CD边移动到D需要20s,而283<11,∴当t为4s,203s,283s时,⊙P与⊙Q外切.考点:1.矩形的性质;2.圆与圆的位置关系.10.(10分)如图,以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E,点D是AE的中点,连接OD并延长交⊙O于点M,∠BOE=60°,cosC=12,BC=23.试卷第10页,总60页(1)求A的度数;(2)求证:BC是⊙O的切线;(3)求弧AM的长度.【答案】(1)30°;(2)证明见试题解析;(3).【解析】试题分析:(1)根据三角函数的知识即可得出∠A的度数.(2)要证BC是⊙O的切线,只要证明AB⊥BC即可.(3)根据垂径定理求得∠AOM=60°,运用三角函数的知识求出OA的长度,即可求得弧AM的长度.试题解析:(1)∵OA=OE,∴∠A=∠OEA,∵
本文标题:圆精典培优竞赛题(含详细答案)
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