高等数学练习答案8-6

习题861求曲线xtsinty1cost2sin4tz在点)22,1,12(处的切线及法平面方程解x(t)1costy(t)sint2cos2)(ttz因为点)22,1,12(所对应的参数为2t故在点)22,1,12(处的切向量为)2,1,1(T因此在点)22,1,12(处切线方程为22211121zyx法平面方程为0)22(2)1(1)12(1zyx即422zyx2求曲线ttx1tty1zt2在对应于t1的点处的切线及法平面方程解2)1(1)(ttx21)(ttyz(t)2t在t1所对应的点处切向量)2,1,41(Tt1所对应的点为)1,2,21(所以在t1所对应的点处切线方程为21124121zyx即8142121zyx法平面方程为0)1(2)2()21(41zyx即2x8y16z103求曲线y22mxz2mx在点(x0y0z0)处的切线及法平面方程解设曲线的参数方程的参数为x将方程y22mx和z2mx的两边对x求导得mdxdyy2212dxdzz所以ymdxdyzdxdz21曲线在点(x0y0z0)的切向量为)21,,1(00zymT所求的切线方程为00000211zzzymyyxx法平面方程为0)(21)()(00000zzzyyymxx4求曲线0453203222zyxxzyx在点(111)处的切线及法平面方程解设曲线的参数方程的参数为x对x求导得053203222dxdzdxdydxdzzdxdyyx即2533222dxdzdxdyxdxdzzdxdyy解此方程组得zyzxdxdy61015410zyyxdxdz610946因为169)1,1,1(dxdy161)1,1,1(dxdz所以)161,169,1(T所求切线方程为1611169111zyx即1191161zyx法平面方程为0)1(161)1(169)1(zyx即16x9yz2405求出曲线xtyt2zt3上的点使在该点的切线平行于平面x2yz4解已知平面的法线向量为n(121)因为x1y2tz3t2所以参数t对应的点处的切向量为T(12t3t2)又因为切线与已知平面平行所以Tn0即14t3t20解得t131t于是所求点的坐标为(111)和)271,91,31(6求曲面ezzxy3在点(210)处的切平面及法线方程解令F(xyz)ezzxy3则n(FxFyFz)|(210)(yxez1)|(210)(120)点(210)处的切平面方程为1(x2)2(y1)0(z0)0即x2y40法线方程为002112zyx7求曲面ax2by2cz21在点(x0y0z0)处的切平面及法线方程解令F(xyz)ax2by2cz21则n(FxFyFz)(2ax2by2cz)(axbycz)在点(x0y0z0)处法向量为(ax0by0cz0)故切平面方程为ax0(xx0)by0(yy0)cz0(zz0)0即202020000czbyaxzczybyxax法线方程为000000czzzbyyyaxxx8求椭球面x2+2y2+z21上平行于平面xy2z0的切平面方程解设F(xyz)x2+2y2+z21则n(FxFyFz)(2x4y2z)2(x2yz)已知切平面的法向量为(112)因为已知平面与所求切平面平行所以2121zyx即zx21zy41代入椭球面方程得1)4(2)2(222zzz解得1122z则1122x11221y所以切点坐标为)1122,11221,112(所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(zyx即2112zyx9求旋转椭球面3x2y2z216上点(123)处的切平面与xOy面的夹角的余弦解xOy面的法向为n1(001)令F(xyz)3x2+y2z216则点(123)处的法向量为n2(FxFyFz)|(123)(6x2y2z)|(123)(646)点(123)处的切平面与xOy面的夹角的余弦为22364616||||cos2222121nnnn10试证曲面azyx(a0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a证明设azyxzyxF),,(则)21,21,21(zyxn在曲面上任取一点M(x0y0z0)则在点M处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000zzzyyyxxx即azyxzzyyxx000000化为截距式得1000azzayyaxx所以截距之和为azyxaazayax)(000000