高等数学练习答案8-7

习题871求函数zx2+y2在点(12)处沿从点(12)到点)32,2(的方向的方向导数解因为从点(12)到点)32,2(的向量为)3,1(l故)cos,(cos)23,21(||llel又因为22)2,1()2,1(xxz42)2,1()2,1(yyz故所求方向导数为321234212coscosyzxzlz2求函数zln(xy)在抛物线y24x上点(12)处沿这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数解方程y24x两边对x求导得2yy4解得yy2在抛物线y24x上点(12)处切线的斜率为y(1)1切向量为l(11)单位切向量为)cos,(cos)21,21(le又因为311)2,1()2,1(yxxz311)2,1()2,1(yxyz故所求方向导数为3221312131coscosyzxzlz3求函数)(12222byaxz在点)2,2(ba处沿曲线12222byax在这点的内法线方向的方向导数解令1),(2222byaxyxF则22axFx22byFy从而点(xy)处的法向量为)2,2(),(22byaxFFyxn在)2,2(ba处的内法向量为)2,2()2,2()2,2(22babyaxban单位内法向量为)cos,(cos),(2222baababne又因为aaxxzbaba22)2,2(2)2,2(bbyyzbaba22)2,2(2)2,2(所以coscosyzxznz222222baabbaba222baab4求函数uxy2z3xyz在点(112)处沿方向角为343的方向的方向导数解因为方向向量为)21,22,21()cos,cos,(cosl又因为1)()2,1,1(2)2,1,1(yzyxu0)2()2,1,1()2,1,1(xzxyyu11)3()2,1,1(2)2,1,1(xyzzu所以coscoscoszuyuxulu5211122021)1(5求函数uxyz在点(512)处沿从点(512)到点(9414)的方向的方向导数解因为l(9541142)(4312))1312,133,134(||llel并且2)2,1,5()2,1,5(yzxu10)2,1,5()2,1,5(xzyu5)2,1,5()2,1,5(xyzu所以coscoscoszuyuxulu1398131251331013426求函数ux2y2z2在曲线xtyt2zt3上点(111)处沿曲线在该点的切线正方向(对应于t增大的方向)的方向导解曲线xtyt2zt3上点(111)对应的参数为t1在点(111)的切线正向为)3,2,1()3,2,1(12tttl)143,142,141(||llel又22)1,1,1()1,1,1(xxu22)1,1,1()1,1,1(yyu22)1,1,1()1,1,1(zzu所以coscoscos)1,1,1(zuyuxulu14121432142214127求函数uxyz在球面x2y2z21上点(x0y0z0)处沿球面在该点的外法线方向的方向导数解令F(xyz)x2y2z21则球面x2y2z21在点(x0y0z0)处的外法向量为)2,2,2(),,(000),,(000zyxFFFzyxzyxn)cos,cos,(cos),,(||000zyxnnne又1zuyuxu所以coscoscoszuyuxunu000000111zyxzyx8设f(xyz)x22y23z2xy3x2y6z求gradf(000)及gradf(111)解32yxxf24xyyf66zzf因为3)0,0,0(xf2)0,0,0(yf6)0,0,0(zf6)1,1,0(xf3)1,1,0(yf0)1,1,0(zf所以gradf(000)3i2j6kgradf(111)6i3j9设uv都是xyz的函数uv的各偏导数都存在且连续证明(1)grad(uv)gradugradv解kjizvuyvuxvuvu)()()()(gradkji)()()(zvzuyvyuxvxu)()(kjikjizvyvxvzuyuxuvugradgrad(2)grad(uv)vgraduugradv解kjizuvyuvxuvuv)()()()(gradkji)()()(zvuzuvyvuyuvxvuxuv)()(kjikjizvyvxvuzuyuxuvvgraduugradv(3)grad(u2)2ugradu解kjizuyuxuu2222)(gradkjizuuyuuxuu222uuzuyuxuugrad2)(2kji10问函数uxy2z在点p(112)处沿什么方向的方向导数最大?并求此方向导数的最大值解kjikji222xyxyzzyzuyuxuugradkjikji42)2()2,1,1()2,1,1(22xyxyzzyugradgradu(112)为方向导数最大的方向最大方向导数为211)4(2|)2,1,1(222ugrad|