高等数学自考8.1二阶常系数线性微分方程

第四节(*)二阶常系数线性微分方程一.二阶线性微分方程解的结构形如:()()(),(1)yPxyQxyfx显然,y=0是(2)的解.平凡解讨论非平凡解:定理1.如果是(2)的两个解,则也是(1)的解,其中为任意常数.)(),(21xyxy)()(2211xyCxyCy21,CC的二阶微分方程,由于方程中末知函数y及其各阶导数都以一次(线性)形式出现,故称为二阶线性微分方程。()0fx()0fx若则称为二阶齐次线性微分方程。若则方程（1）称为二阶非齐次线性微分方程()()0,(2)yPxyQxy即：11212211)2(CyyCCyCyCy例如:1y是(2)的解,则也是(2)的解.12y此时不是通解函数的线性相关和线性无关设为定义在I上的n个函数,nyyy,,,2102211nnykykyknkkk,,,21如果存在n个不全为零的常数,使得注意:不一定是通解.1122()()yCyxCyx定义：则称这些函数线性相关，否则称线性无关。例如:线性相关在任意区间I上:xx22sin,cos,1取,1,1321kkk0sincos122xx2,,1xx线性无关要使,必须02321xkxkk.0321kkk对于两个函数:如果它们之比为常数,则线性相关;否则,线性无关定理2.如果是(2)的两个线性无关的特解,则)(),(21xyxy2211yCyCy21,CC是(2)的通解,为任意常数.例如:0yyxyxysin,cos21是它的特解,xCxCysincos21线性无关通解一般形式:)3(),()()(xfyxQyxPy定理3.如果是(3)的一个特解,是(3)对应的奇次方程(2)的通解,则y2211yCyCYyYy是(3)的通解.定理4.如果分别是)(),(21xyxy的特解,则是方程)()()(2xfyxQyxPy)()()(1xfyxQyxPy)4()()()()(21xfxfyxQyxPy的特解.)()(21xyxy二.二阶常系数线性方程的解法一般形式:)1(,0qyypyp,q为常数分析由方程特点可看出:为同一类型函数,yyy,,之间相差常数因子.因此假设rxeyrxey将代入(1)得:,0)(2rxeqprr)2(,02qprr当满足(2)时,是(1)的一个特解.rrxe特征方程特征根根据特征根的三种不同情形,方程(1)的通解有三种情形.二阶常系数齐次线性方程解法0u0)()2(1211uqprrupru21rr1.特征根为相异实根:xrxreyey2121,是(1)的两个线性无关的特解,xrxreCeCy2121则(1)的通解为21rr2.特征根为二重根:xrey11是(1)的一个特解,求另一个线性无关的特解.xrexuy1)(2设代入方程(1):取,xuxrxey12得到另一个线性无关的特解xrxrxrexCCxeCeCy111)(2121则(1)的通解为线性无关特解)0(,21irir3.特征根为共轭复根:xixieyey)(2)(1,是(1)的两个特解,)sin(cos)(1xixeeyxxi)sin(cos)(2xixeeyxxixeyyyxcos)(21211xeyyiyxsin)(21212)sincos(21xCxCeyx则(1)的通解为例:023yyy,0232rr,2,121rr则通解为xxeCeCy221例:2|,4|,0200xxyyyyy,0122rr,121rr则通解为xexCCy)(2144|10CyxxexCCCy])[(21222|20Cyx则特解为xexy)24(例:032yyy,0322rr,212,1ir则通解为)2sin2cos(21xCxCeyx)3(,0)2(2)1(1)(ypypypynnnn02211nnnnprprpr注:上述解法可推广到n阶常系数线性奇次方程:特征方程特征根通解中的对应项单实根r一项一对单复根ir2,1两项k重实根rk项一对k重复根ir2,12k项rxCe)(121kkrxxCxCCe)sincos(21xCxCex]sin)(cos)[(121121xxDxDDxxCxCCekkkkx例:0)3()4()5(yyyy,02345rrrr,,,1,0,0iir则通解为xCxCeCxCCyxsincos54321二阶常系数线性非齐次方程的解法一般形式:)4(),(xfqyypyp,q为常数yYy由解的结构可知,(4)的通解是:故只要求出(4)的一个特解.y待定系数法1.型xnexPxf)()(n次多项式与指数函数乘积xexQy)(因此设待定多项式将代入(4)式并整理得:xexQy)()5()()()2(2xPQqpQpQn(1).当不是特征根时:,02qp因此取nnnnnbxbxbxbxQxQ1110)()(xnexQy)(则设(2).当是特征单根时:,02,02pqp因此是n次多项式,)(xQxnexxQy)(则设是n+1次多项式,)(xQ例:求的一个特解.1332xyyy,0322rr型,xnexPxf)()(由于不是特征根,0baxy则设将代入方程得:y13323xbaax13233baa311ba31xy则一个特解为(3).当是特征重根时:,02,02pqp因此是n次多项式,)(xQxnexQxy)(2则设是n+2次多项式,)(xQ由于是特征单根,2xebaxxy2)(则设将代入方程得:yxbaax220212baa121baxexxy2)121(则一个特解为因此通解为:xxeCeCy3221xexx22)2(例:求的通解.xxeyyy265,0652rr,3,221rr则对应的奇次方程的通解为xxeCeCY32212.型]sin)(cos)([)(xxPxxPexfmlx]sin)(cos)([)2()1(xxQxxQexynnxk此时设特解为:iik10不是特征根是特征根证明略n次多项式},max{mln例:求的一个特解.xeyyyxcos22由于是特征根,ii1)sincos(xbxaxeyx则设将代入方程得:yxxaxbcos)sincos(221,0baxexyxsin2则一个特解为,0222rr,12,1ir例:求的通解.xxyy2sin4,042r则对应的奇次方程的通解为xCxCY2sin2cos21,22,1ir由于是特征根,ii2]2sin)(2cos)[(xdcxxbaxxy则设将代入方程得:yxxxbcaxxdacx2sin2sin)428(2cos)428(xxxxy2sin162cos82则一个特解为042180420bcadac1610081dcba因此通解为:xCxCy2sin2cos21xxxx2sin162cos82