高等数学课件10-4重积分应用

上页下页铃结束返回首页相应于[x,x+dx]的部分面积—面积元素:dA=f(x)dx关于x[a,b]累加得整体面积:()dbaAfxx元素法•相应于[x,x+dx]的部分量(元素):dU=f(x)dx•关于x[a,b]累加得整体量:()dbaUfxx上页下页铃结束返回首页dsP(x,y)•设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,其面密度(x,y)是闭区域D上的连续函数,则该平面薄片的质量为(,).DMxyds•相应于ds的部分质量—质量元素dM=(x,y)ds•关于(x,y)D累加得薄片的质量元素法(,).DMxyds上页下页铃结束返回首页1n1n22若已知两平面方程是:1:A1x+B1y+C1z+D1=0法向量n1=(A1,B1,C1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量n2=(A2,B2,C2)1.定义1两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.二、两平面的夹角上页下页铃结束返回首页,),(),(),(21212121两者中的锐角和应是的夹角与平面nnnnnnΠΠ),cos(21nn||||||2121nnnn222222212121212121||CBACBACCBBAA++++++cos所以1n1n22上页下页铃结束返回首页平面1与2相互平行212121CCBBAA规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.平面1与2相互垂直A1A2+B1B2+C1C2=02.上页下页铃结束返回首页空间光滑曲面曲面在点法线方程),,(0000zyxFxxx),,(0000zyxFyyy),,(0000zyxFzzz)(),,()(),,(00000000yyzyxFxxzyxFyx+1)隐式情况.的法向量0))(,,(0000+zzzyxFz切平面方程曲面的切平面与法线机动目录上页下页返回结束)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx上页下页铃结束返回首页空间光滑曲面)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx+切平面方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff++++2)显式情况.法线的方向余弦2211cosyxff++法向量机动目录上页下页返回结束)1,,(yxffn一、曲面的面积二、质心三、转动惯量四、引力重积分的应用上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、曲面的面积点M处的法向量为设dS为曲面上点M处的面积元素,dS在xOy平面上的投影为小闭区域ds,设曲面S的方程为zf(x,y),f(x,y)在区域D上具有连续偏导数MdSdsn曲面的面积元素(,,1)xynff1(cos,cos,cos)||nn1cos,||ncos,ddAs||dSdAndsssdyxfyxfddAyx),(),(1||22++nAscosAs上页下页铃结束返回首页一、曲面的面积sdyxfyxfdAyx),(),(122++曲面的面积sdyxfyxfAyxD),(),(122++,或dxdyyzxzAD22)()(1++设曲面S的方程为zf(x,y),f(x,y)在区域D上具有连续偏导数MdAdsnAscosAs曲面的面积元素上页下页铃结束返回首页曲面的面积公式:讨论:(1)曲面xg(y,z)的面积如何求？(2)曲面yh(z,x)的面积如何求？提示:或dxdyyzxzAD22)()(1++(1)dydzzxyxAyzD++22)()(1,其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域(2)dzdxxyzyAzxD++22)()(1,其中Dzx是曲面在zOx面上的投影区域上页下页铃结束返回首页球面的面积A为上半球面面积的两倍解例1求半径为R的球的表面积222yxRxxz,222yxRyyz,222yxRxxz,222yxRyyz,所以22)()(12222yzxzARyx+++dxdyyxRRRyx2222222+200222RRddRdxdyyxRRRyx2222222+200222RRddR球心在原点的上半球面的方程为222yxRz,而提示:此积分的被积函数是无界的,因此这是一种反常积分202244RRRR202244RRRRdxdy上页下页铃结束返回首页12.已知曲面221:6zxy与曲面222:zxy+(1)求两曲面所围成的立体的体积；(2)求立体的1部分的表面积.解：在xOy面上的投影区域为22:4Dxy+，所求体积为2222(6)Dxyxydxdy+22200(6)drrrdr323重积分例题选解Vdv22226xyxyDdxdydz+上页下页铃结束返回首页所求面积为22144Dxydxdy++2220014drrdr+32220122[(14)]83r+(17171)612.已知曲面221:6zxy与曲面222:zxy+(1)求两曲面所围成的立体的体积；(2)求立体的1部分的表面积.解：在xOy面上的投影区域为22:4Dxy+，重积分例题选解221()()DzzAdxdyxy++上页下页铃结束返回首页二、质心质点系:111(,),,(,)nnnmxymxy总质量:1niiMm关于y轴静矩:关于x轴静矩:1nyiiiMmx1nxiiiMmy静矩等效原理:以质点(,)Mxy取代质点系,静矩相等,即,yMxMxMyM质心坐标:,yxMMxyMM上页下页铃结束返回首页分析:在点P(x,y)处取一直径很小的小薄片,其面积(面积元素)为ds,其质量认为集中于点P,其值近似为(x,y)dsdsP(x,y)•设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,其面密度(x,y)是闭区域D上的连续函数,则该平面薄片的质心坐标为DDydyxdyxxMMxss),(),(,DDxdyxdyxyMMyss),(),(•薄片对y轴的静矩为DydyxxMs),(静矩等效原理:以质点取代质点系,静矩相等,即,yMxMxMyM•P点对y轴的静矩为dMyx(x,y)ds(,)Mxy上页下页铃结束返回首页DDdxdxss,DDdydyss讨论:设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,其面密度是常数,如何求该平面薄片的质心(称为形心)？提示:DDydyxdyxxMMxss),(),(,DDxdyxdyxyMMyss),(),(DDydyxdyxxMMxss),(),(,DDxdyxdyxyMMyss),(),(•设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,其面密度(x,y)是闭区域D上的连续函数,则该平面薄片的质心坐标为上页下页铃结束返回首页类似地,设一物体占有空间闭区域,其密度(x,y,z)是闭区域上的连续函数,则该物体的质心坐标为dvzyxdvzyxxx),,(),,(,dvzyxdvzyxyy),,(),,(,dvzyxdvzyxzz),,(),,(DDydyxdyxxMMxss),(),(,DDxdyxdyxyMMyss),(),(•设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,其面密度(x,y)是闭区域D上的连续函数,则该平面薄片的质心坐标为DDydyxdyxxMMxss),(),(,DDxdyxdyxyMMyss),(),(上页下页铃结束返回首页解例2求两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心解由对称性,所以形心),(yxC位于y轴上,于是0xs31222dD,解由对称性,所以形心),(yxC位于y轴上,于是0xs31222dD,因为s7sinsinsin4sin2202ddddydDD,因为s7sinsinsin4sin2202ddddydDD,因为s7sinsinsin4sin2202ddddydDD,因为s7sinsinsin4sin2202ddddydDD,所以3737y因此所求形心是)37,0(C上页下页铃结束返回首页例2求两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心力学解法:设小圆质量为m,质心(0,1),38,mmym+7.3y则大圆质量为4m,质心(0,2),小圆关于x轴的静矩为m,大圆关于x轴的静矩为8m,图形关于x轴的静矩为3,my上页下页铃结束返回首页取半球体的对称轴为z轴,原点取在球心上解例3求半径为a的均匀半球体的质心显然,质心在z轴上,故0yx半球体所占空间闭区域可表示为{(x,y,z)|x2+y2+z2a2,z0}3cossinzdvrdrdd232000cossinaddrdr44a32,3aV1zzdvV38a所以质心为)83,0,0(a上页下页铃结束返回首页转动惯量元素:在点P(x,y)处取一直径很小的小薄片,其面积(面积元素)为ds,其质量认为集中于点P,其值近似为(x,y)dsP点对x轴和对y轴的转动惯量为dIxy2(x,y)ds,dIyx2(x,y)ds三、转动惯量dsP(x,y)sdyxyIDx),(2,sdyxxIDy),(2设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,其面密度(x,y)是D上的连续函数,则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为上页下页铃结束返回首页三、转动惯量类似地,设一物体占有空间闭区域,其密度(x,y,z)是上的连续函数,则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,其面密度(x,y)是D上的连续函数,+dvzyxzyIx),,()(22,+dvzyxxzIy),,()(22,+dvzyxyxIz),,()(22则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为sdyxyIDx),(2,sdyxxIDy),(2上页下页铃结束返回首页例4求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量取球心为坐标原点,z轴与轴l重合,又设球的半径为a解球体所占空间闭区域可表示为{(x,y,z)|x2+y2+z2a2}所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz,+dvyxIz)(22ddrdr34sindrrdda200043sin5158aMa252,其中334aM为球体的质量+dvyxIz)(22ddrdr34sindrrdda200043sin5158aMa252,drrdda200043sin5158aMa252,上页下页铃结束返回首页四、引力设物体占有空间有界闭区域,其密度(x,y,z)为上的连续函数求物体对于物体外一点P0(x0,y0,z