相似专题二：母子相似及射影定理

第二十七章相似1.射影点在直线上的正射影从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。一条线段在直线上的正射影线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。A´AANMNMABA´B´点和线段的正射影简称射影2.各种线段在直线上的射影的情况：ABA’B’lAlAA’BB’如图,CD是的斜边AB的高线ABCRt这里:AC、BC为直角边，AB为斜边，CD是斜边上的高AD是直角边AC在斜边AB上的射影,BD是直角边BC在斜边AB上的射影。CADBA’B’BloCADB已知直角三角形ABC，CD垂直AB问：1．图中有几个Rt△?2．有几对△相似？3．CD=？AC=？BC=？222AD·DBAD·ABBD·BA母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。ADBC格式：1.∵∠A=∠BCD∴ΔACD∽ΔCBD∴CD2=AD·DB2.∵∠A=∠A∴ΔACD∽ΔABC∴AC2=AD·AB3.∵∠B=∠B∴ΔBCD∽ΔABC∴BC2=BD·AB射影定理：（1）AC2=AD·AB（2）BC2=BD·AB（3）CD2=AD·DBABDCO例1如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD=2,DB=8,0:90,.ACBACBABC解是半圆上的圆周角，即是直角三角形228164;CDADBDCD由射影定理可得，解得22102025;ACADABAC，解得28108045.BCBDABBC，解得求CD,AC和BC的长.如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。练习1解:答:CD,AC,BC的边长分别为cmcmcm34,4,32CADB分析：利用射影定理和勾股定理;3212,12622cmCDDBADCD;416,166222cmACABADAC.3448,486262cmBCABBDBC练习21.直角△ABC中已知:CD=60AD=25求：BD,AB,AC,BC的长BD=144,AB=169,AC=65,BC=1562.(2007广州一模)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于_____．BACDO5例2.D为△ABC中AB边上一点，∠ACD=∠ABC.求证：AC2=AD·ABABCD这也是母子相似,但只有1对三角形相似解：∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,∴△ABD∽△ACB,∴AB:AC=AD:AB,∴AB2=AD·AC.∵AD=2,AC=8,∴AB=4.练习1.已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB.新知应用母子相似解：∵∠A=∠A∠ABD=∠C∴△ABD∽△ACB∴AB:AC=AD:AB∴AB2=AD·AC∵AD=2AC=8∴AB=4练习2.已知:如图,∠ABD=∠CAD=2AC=8，求ABCADB母子相似例3如图32－2－9所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.思考1：如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，AB=5．点D在反比例函数y=k/x（k＞0）的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP=7．（1）求点B的坐标和线段PB的长；（2）当∠PDB=90°时，求反比例函数的解析式．2020/1/29361图ACBD22136,,,.:.ABCCABDCDADBDABC思考如图中顶点在边上的射影为且求证是直角三角形..,,090BDCCDAABCDDABCBDCCDA因而所以上的射影为在点因为中和在证明即又因为,DBADCD2.~BDCCDA所以.BCDCAD故.::DBCDCDAD所以因为中在.,090ACDCADACD090ACDBCD,090ACBACDBCD则.是直角三角形因此ABCABCDEABABC思考3、已知直角三角形中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，交AB于E，且AD=3.2cm，则DE=（）A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm2、如图1-1，在Rt中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长.A、1B、2C、3D、4