CH14 误差及测量 有效数字

第14章检测系统的误差合成什么是测量误差如何计算误差误差分类及性质误差工程实例相关课堂练习一、什么是测量误差测量误差是指被测物理量的测量值和真实值之间的差值。测量的目的是确定被测物理量的真实值，但是1）由于人的认识能力不足和科研水平的限制，2）测量的过程是对被测物理量施加作用的结果，因此测量结果一定存在误差。测量误差的名词术语真值：一定时间及空间条件下，被测量客观存在的实际值（真实值）。真值是不可测量的。在实际计算和测量中，常用约定真值和相对真值。约定真值：测量中多次测量的值，或已经修正的测量值，可以认为无限接近真值的测量结果。相对真值：满足规定要求时，可以用来代替真值的使用值。标称值：计量或测量器具上标准的量值。如：标准砝码上标出的1g。测量误差的名词术语测量值（示值）：测量仪器给出的量值。测量结果的精度：包括精确度、精密度和精确度三个层面。准确度（正确度）：反映测量结果偏离真值的程度。精密度：反映测量结果的分散程度。精确度：反映测量误差的影响程度，是同时兼顾准确度和精密度的要求。测量误差：测量结果与真值的差值。AA1A221图14-1测量的精密度与准确度A真值，A1，A2测量均值1准确度高，精密度差；2精密度高，准确度差。二、如何计算误差①绝对误差测量的结果X与被测量的真值A0之间的差值。可表示为ΔX＝X-A0实际上，真值无法得到，常用被测物理量的多次测量结果平均值代替。特别的，用算术平均值作为真值的单次测量误差称为残余误差。有时两者不详细区分。下页上页返回图库测量误差有4种表示方法。②相对误差表示或比较测量结果的精确程度，常用误差的相对表示形式。相对误差δA是绝对误差ΔX与被测量的真值A的比值，它以（无量纲）百分数表示:上式中，如果用测量值X代替A，得到测量值相对误差，一般用来不加区分的表示相对误差。下页上页返回%100AXA图库若比较两个测量结果的精确度，1）对同一个被测量的测量结果分析，可采用绝对误差形式；2）对不同被测量的测量结果分析，需采用相对误差。例：一个工件L=100mm,两次测量误差ΔL1和ΔL2分别是±0.01mm和±0.02mm，从绝对误差看，第一次测量精度高。两个工件L1=100mm,L2=180mm,测量的误差ΔL1和ΔL2分别是±0.01mm和±0.02mm，只能从相对误差看，L1测量结果精度高。下页上页返回图库绝对误差和相对误差的应用场合③引用误差（满刻度相对误差）测量仪器仪表的绝对误差ΔX（通常被认为是最大绝对误差）与测量满量程（最大输出值）的比值的百分数：引用误差用来评价仪表的质量。通常，把引用误差百分比的有效数字作为测量仪表的精度等级。例：某电压表的引用误差为0.05%，则其精度等级为5级。常用的仪表的精度等级有：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0下页上页返回%100maxFSFXX图库④分贝误差分贝误差定义为测量结果X与真值A之比的对数，即：分贝误差更多用在信息领域，最典型的例子是信噪比。例：测量结果中的误差定义为噪声，真值定义为信号，分贝误差定义为信噪比。下页上页返回)lg(20AX分贝误差图库三、误差分类及性质误差有多种分类方法，按照误差的特点与性质，可将测量误差分为：系统误差、随机误差和粗大误差三类。下页上页返回图库1、系统误差在相同条件下，对同一被测量进行多次重复测量，出现的某种保持恒定或按照一定规律变化着的误差称为系统误差。说明：系统误差常涉及具体测量对象、测量原理及测量方法。例如，包括仪器误差、环境误差、工具误差、测量方法缺陷等。对系统误差的处理包括：1）判断系统误差是否存在；2）分析系统误差产生的原因及在测量过程前尽可能避免；3）对测量过程中出现的系统误差采取有效措施，减小其影响；4）估计出系统误差的数量范围。1、系统误差下页上页返回图库1）如何判断系统误差存在系统误差产生的原因不同，判断方法也不相同。常见有：实验对比法：更换实验条件，对比测量结果如：长度或角度测量用量块制造时出现误差，导致测量结果中存在系统误差。可更换量块测量，分析测量结果。测量数据分析法：（剩余误差分析法）剩余误差观察法是根据测量数据的各个剩余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。2）降低系统误差对测量结果影响的方法引入更正值法：通过对测量仪表的校准，获取仪表的更正值,则将测量结果的指示值加上更正值下页上页返回图库直接比较法(即零输入测量法)：测量误差主要取决于标准量具的误差，直接比较法必须用指零仪表测量，因为指零仪表的灵敏度足够高。替换法：替换法是用可调的标准量具代替被测量接入测量仪表，然后调整标准量具，使测量仪表的指标与被测量接入时相同，则此时的标准量具的数值即等于被测量。1、系统误差正负误差相消法：（差分法）当测量仪表内部存在着固定方向的误差因素时，可以改变被测量的极性，作两次测量，然后取二者的平均值，以消除固定方向的误差因素。例如：测量轴弯曲时所受力，可在轴的上、下两侧分别放置应变片，测量结果是二者之差的均值。选择最佳测量方法：选择总误差为最小的测量方案下页上页返回图库1、系统误差三、误差分类及性质下页上页返回图库2、随机误差由测量中随机因素引起的，在相同条件下和短时间对同一被测量多次重复测量时，测量误差数值的大小和符号都不固定，但是有统计规律性的误差称为随机误差。1）随机误差的特征（如何判定）：（1）绝对值相等、符号相反的随机误差在多次测量中重复出现；（2）随机误差的绝对值一般不会超过某个限度；（3）绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现次数多；（4）随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋于0.2、随机误差下页上页返回图库2）随机误差的分析：随机误差无法减小，只能通过分析概率分布函数来确定随机误差的取值范围及取值概率。若有一非负函数f(x)，使得对任意的实数x有分布函数F(x)badxxfbxaP)()(xdxxfxF)()(确定随机误差在（a，b）范围内的概率2、随机误差下页上页返回图库分析概率密度f(x)，)2)(exp(21)(22mxxf由概率论的中心极限定理可知：大量的，微小的及独立的随机变量之和服从正态分布。a、正态分布的概率密度f(x)，m是均值，是均方差。m决定概率密度曲线的位置，决定..曲线的离散程度。2、随机误差下页上页返回图库)2)(exp(21)(22mxxfa、正态分布的概率密度f(x)，m是测量真值，一般不宜获取，常用测量均值代替。（详细公式推导在本章结尾）1)(2NXxiNmxi2)(把正态分布归一化（调整为均值为0，方差为1）。下页上页返回图库正态分布的概率密度和置信概率的数值表mxtT00.50.6740.7971.001.962.003.00f(t)0.3980.3520.3180.2900.2420.0580.0540.0040.000.000.3830.500.5750.6830.9500.9540.9971.00)(z随机误差分布不仅关注取值范围，还关注取值分布的概率。若T是的倍数，是落入T范围的概率。一般工程测量中，95%的概率足够，此时的置信区间是（+/-)2)(z下页上页返回图库22)1()2()22(),(Nftfffftb、t分布的概率密度，正态分布只适合大样本的测量数据，而对于小样本要用t分布。t分布的特点是当测量次数N30时，与正态分布重合。)ˆ()(Nmxtdtetxtx01)(是估计值；N是测量次数；f=N-1是自由度ˆ下页上页返回图库其他0)(21)(aaafc、平均分布的概率密度，在某个区域内，随机误差出现的概率处处相等；而出现在该区域以外的概率为0a是随机误差的极限值。均匀分布是一种常见的误差分布。例如：仪器刻度差、仪器的最小分辨率引起的误差。此外，一些不知分布规律的误差也常用均匀分布来对待。三、误差分类及性质下页上页返回图库3、粗大误差对测量结果计算残差较大的数据可列为可疑数据，这个残差称为粗大误差。残差较大的数据对平均值计算，特别是对标准误差的估计影响较大。检测粗大误差的方法：给定一个置信概率，并确定一个置信区间，凡是超出置信区间的误差值都认定为粗大误差。一般的，随机误差计算时，误差值超过3的测量结果含有粗大误差应剔除。四、误差的工程实例1、系统误差的统计处理一个测量系统总是由若干个子系统组成。每个子系统都有误差，这些误差再通过一定的传递形成系统的总误差。下页上页返回图库系统的传递函数可能简单也可能很复杂。一般的，用初等多元函数表示系统总误差和子系统误差间的关系。测量系统中误差的传递误差的传递设有系统函数y=f(x1,x2,…,xn)，y由x1,x2,…,xn各直接测量值决定。令Δx1,Δx2,…,Δxn分别表示直接测量值x1,x2,…,xn的误差，Δy表示由Δx1,Δx2,…,Δxn引起的y的误差，则有绝对误差传递公式：相对误差传递公式：下页上页返回),,(2211nnxxxxxxfyynnxxfxxfxxfy2211nnnnyxfxfxfyxxfyxxfyxxfyy22112211图库对于随机误差，还可以求均方差下页上页返回niniiiidxxfdxxfdxxfdy221),2,1(ki2222222121122122221222112)()()()()()(xnnxxkininkiikiikiyxfxfxfkdxxfdxxfdxxfkdy图库在实际测量中遇到误差传递问题时，常用采用1）所谓等传递原则，即假定各直接测量测量子系统对于总的测量结果所引起的误差均相等。故在仪表设计中也可应用此原则，按整台仪表的预定精度，初步确定各组成环节应达到的精度，有时还要根据实际情况，适当调查，但最后应满足上式。下页上页返回2222222121)()()(xnnxxxfnxfnxfny图库2、测量结果分析-有效数字在测量和计算中，选择几位数字表示结果具有很重要的意义。1、小数点的位置不能反映精确度标准，只反映数值单位大小。2、测量结果中，应该只有最后一位是存疑的，其他位都是精确的。(1)有效数字及其表示方法(2)有效数字的化整规则(3)有效数字的运算规则下页上页返回图库(1)有效数字及其表示方法有效数字是指测量值中全部有意义的数字。其中非零数字都是有效数字，非零数字之前的零是无效数字，非零数字之后的零是有效数字。例：0.00320m，有效数字3位，即3,2,0；用科学计数法：1.2×104m,有效数字2位，即1,2；1.24×104m,有效数字3位，即1,2,4；下页上页返回图库(2)有效数字的化整规则数据处理（测量结果累计）中，有时候需要将有效数字化整。化整原则：四舍六入如果是“5”，保证化整后最后一位是偶数。下页上页返回图库(3)有效数字的运算规则加、减法：先化整，化整的结果比精确度最差的精度高1位，再计算，并将结果化整。例：561.32,491.6,86.954,3.946的和精度最差491.6，其他都化整保留2位小数，即：561.32+491.6+86.95+3.95=1143.82化整后得：1143.8乘、除法：先化整，化整的结果比精确度最差的精度高1位，再计算，并将结果化整。下页上页返回图库一、问答题1、测量误差有哪几种表示方法？如何计算？适用场合？2、常见的系统误差产生的原因是？减小系统误差的方法？3、什么是精确度？精密度？准确度？4、服从正态分布的随机误差有哪些特征？5、什么是残差？它与随机误差有什么不同？6、为什么使用指针式仪表，总希望指针偏转在全量程的2/3以上范围内使用？下页上页返回图库课堂练习二、计算题1、有3台