大学高等数学经典课件3-6

高等数学电子教案武汉科技学院数理系第六节函数图形的描绘综合上述,要作出函数的图形,可以按如下步骤进行(1)考察函数的基本性质,例如定义域,奇偶性,周期性,连续性等以便作图;奇偶性,周期性使画图简单.(2)确定图象上的一些特殊点,例如与坐标轴的交点f(x)=0,顶点f’=0,间断点和始(终)点.(3)利用导数研究函数的单调区间与极值,凹凸区间与拐点.高等数学电子教案武汉科技学院数理系(4)求出曲线的全部渐近线(5)需要时可由曲线的方程计算出一些适当的点的坐标.(6)列表表示上述讨论的结果,在坐标系里画出渐近线和控制点(各种特殊点,包括极值顶点,拐点等),再根据单调性与凹凸性,可确定曲线的走向,画出该曲线.例5作出例4中函数的图形)1(4)3(2xxy高等数学电子教案武汉科技学院数理系(1)定义域为x≠1的实数;当x=1时为间断点,x=0时y=-9/4,y=0,x=3曲线与两条坐标轴的交点为(0,-9/4),(3,0)222)1(9668241xxxxx(2)222)1()3()1)(3(241])1(4)3([xxxxxxy222)1(4)1)(3()1(3241xxxxxx高等数学电子教案武汉科技学院数理系令y’=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,3把函数的定义域分成四个区域:曲线在(-∞,-1],[3,+∞)之内y’0,函数单调上升;曲线在[-1,1),(1,3]内y’0函数单调下降.函数在x=-1时,它从左到右,一阶导数由大到小(变号)有极大值y(-1)=-2;函数在x=3时它从左到右,一阶导数由小到大(变号)有极小值y(3)=0高等数学电子教案武汉科技学院数理系(3),)1(4)3(2xxy当x1时,y”0,曲线上凸,当x1时,y”0,曲线下凹,没有拐点.x=1时,函数没有定义,但y”不存在.函数值为无穷大.因此x=1不是点.,)1(4)1)(3(2xxxy3)1(2xy高等数学电子教案武汉科技学院数理系(4)渐近线为x=1和y=x/4-5/4)1(4)3(limlim211xxyxx所以x=1是曲线的竖直渐近线;41)1(4)3(limlim2kxxxxyxx是曲线的斜渐近线(5)函数没有始点和终点,为此我们作一些辅助点(2,1/4),(4,1/12)(-2,-25/12)45195lim411)1()3(lim41)41(lim2xxxxxxxyxxx4541xy高等数学电子教案武汉科技学院数理系yxx=14y=x-5x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,3)3(3,+∞)y’+0--不存在--0+y”------不存在+++y---2---∞,+∞+0+综合上面的讨论,列表如下:高等数学电子教案武汉科技学院数理系下面我们研究三个问题(1)利用导数证明不等式.(2)证明某些等式.(3)方程根的进一步讨论.(1)利用导数证明不等式利用导数证明不等式是常考的题型.主要的方法有:10利用导数定义证明.20利用微分中值定理;30利用函数的单调性;高等数学电子教案武汉科技学院数理系40利用极值(或最值);50利用泰勒公式.60利用函数的凹凸性证明20利用微分中值定理若函数f(x)有一二阶导数,而要证的不等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或不等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若不等式两端或一端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯西中值定理证.高等数学电子教案武汉科技学院数理系例2证明不等式).1,1(,ln)1(21111211nanaaaanannnn证明：把lna乘以各式,得到)1(,ln)1(ln21111211anaaaanaannnn高等数学电子教案武汉科技学院数理系区间[1/(n+1),1/n]上的增量,可以对f(x)使用拉格朗日中值定理,有f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)111nnaa)1,11(),111(ln111nnnnaaaann其中)1,11(,)1(ln)1(1)1(1111111nnnnaaaannnnnnnnnn因为是函数f(x)=ax在高等数学电子教案武汉科技学院数理系11111ln(),1nnaaaann11(,)1nn其中11111(1)(1)nnnnnnnn11111,(,)ln(1)1nnaaaannnn高等数学电子教案武汉科技学院数理系111,1ann1111111112222(1)(1)ln(1)nnnnnnaaaaaaannnnnan111111(1)(1)(1)nnnnaaaaaannnnnn高等数学电子教案武汉科技学院数理系21112120,(coscos)2xxxxxeexxe如果证明例321112:.coscosxxxeeexx分析把原式变成为.这是两个函数的商利用柯西定理12:(),()cos,(),()[,]tftegttftgtxx证明令则在上.满足柯西定理高等数学电子教案武汉科技学院数理系21212112()()(),()()()coscosxxfxfxfeegxgxgxx的条件故12,0sin2exx2112(coscos)sinxxeeexx从而有11212(coscos)(coscos)xxxexxe高等数学电子教案武汉科技学院数理系30利用函数的单调性当要证的不等式两端是给定的两个表达式,或不等式一端或两端含f(x),且知道f’(x)0(或f”(x)0)则常需要用单调性证.解：:为证不等式,只要证0)(0)1ln(3232xfxxxx)1ln(3232xxxx例4当x0时,证明不等式高等数学电子教案武汉科技学院数理系)0(0)()1ln(32)(32fxfxxxxxf其辅助函数为)1ln(32)(32xxxxxf0)0(111)(2fxxxxf0)0(,)1(121)(2fxxxf)0(0])1(11[2)1(22)(33xxxxf高等数学电子教案武汉科技学院数理系)0(0)()1ln(32)(32fxfxxxxxf所以当x0时,f(3)(x)严格单调增加,即f”(x)f”(0)(x0)从而f’(x)严格单调增加,于是当x0时f’(x)f’(0)=00)0(111)(2fxxxxf0)0(,)1(121)(2fxxxf)0(0])1(11[2)1(22)(33xxxxf高等数学电子教案武汉科技学院数理系例5设f”(x)0,f(0)=0,证明当0a≤b时,f(a+b)f(a)+f(b)(1)证明由微分中值定理知)()(12ff函数f’(x)严格单调减少证明:要证明f(a+b)f(a)+f(b)就只要证f(a+b)-f(b)f(a)-f(0)11()()(0)(),(0)0fafaffaaa22()()()()()fabfbfbababb120()0ababfx高等数学电子教案武汉科技学院数理系()()()fabfbfa(2)()()()Fxfxafx证明令()()()fabfafb()0fx则使得()()()0(0)Fxfxafxx()0fx等式右边是由于()0()FxFx而表示严格单调减少高等数学电子教案武汉科技学院数理系40利用函数的极值与最值0()(0)()()()(0)bFbFfabfbfaf()()()fabfafb例6对任意实数x,证明不等式221)1ln(1xxxx22:()1ln(1)1,(0)0fxxxxxf证明设则高等数学电子教案武汉科技学院数理系2ln(1)xx(0)0f令得到唯一的驻点0210,(0)|101xxfx0,()(0)0,xfxf是极小值221ln(1)10xxxx2222(1)1()ln(1)(1)1xxxxfxxxxxx高等数学电子教案武汉科技学院数理系例7设f(x)在[a,b]上二次可微,且对任意x∈(a,b),有|f”(x)|≤M,又f(a)=f(b),证明50利用泰勒公式若已知函数f(x)在某区间上有二阶以上的导数,在证不等式时常用泰勒公式.)(],,[)(2)(abbaxabMxf高等数学电子教案武汉科技学院数理系0:[,],(),()xabfbfaxx证明对分别把在处展开一阶泰勒公式2111()()()()()(),2fbfxfxbxfbxxb2221()()()()()(),2fafxfxaxfaxax,把上述两式相减得到222111(){[()()][()()()()]}2fxfbfafaxfbxba22211[()()()()]|()|2()faxfbxaxbfxMba高等数学电子教案武汉科技学院数理系2222)()()(2)(abxbxaab)(2)()(2)(2abMababMxf22()[()()]gxaxbxaxb()2()2()gxxabx42()0xba,402abxg极小值22()[()()]2()Mfxaxbxaxbba当时高等数学电子教案武汉科技学院数理系60利用函数的凹凸性证明函数的凹凸性主要用于证明二元不等式)0(01)(,ln)(:tttfttxf则令证明例8证明当x0,y0时,xlnx+ylny(x+y)ln(x+y)/2有于是对任意为凹函数因此,0,0,)(yxtf)],()([21)2(yfxfyxfyyxxyxyxlnln2ln)(即高等数学电子教案武汉科技学院数理系(2)证明某些等式利用导数证明等式常用10罗尔定理(要证明某个函数或一个式子等于0或其导数等于0时).20拉格朗日定理.30柯西定理.关于用2或3的情况是若函数f(x)有一二阶导数,而要证的等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若等式两端或一端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯西中值定理证.高等数学电子教案武汉科技学院数理系关键是建立辅助函数:通常用移项(把等式一端的项全移到另一端)或把等式变形,或变形后再移项或变形后用逆推的方法.)()(xfexx解:辅助函数为例9设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使f’(ξ)+λf(ξ)=0,这里的λ是任意实数.高等数学电子教案武汉科技学院数理系根据连续函数的性质可知,φ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内也可导.满足罗尔定理,在(a,b)内至少存在一点ξ0)()(0)]()([)(ffffe例10设f(x)在[a,b]上连续(0ab),在(a,b)内可导,证明在(a,b)内存在ξη,使得abff)()(2应用柯西定理有与上对在证明xxgxfba1)()(],[:)(1)()()(11)()(2bafababafbfa