欧几里德和《几何原本》

梁宝同欧几里德的生平简介：欧几里得古希腊数学家，以其所著的《几何原本》（简称《原本》）闻名于世．欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的既丰富又纷纭庞杂的结果整理在一个严密统一的体系中，从最原始的定义开始，列出5条公理和5条公设为基础．通过逻辑推理，演绎出一系列定理和推论，从而建立了被称为欧几里得几何的第一个公理化的数学体系．毕竟时光已经流逝了2000多年，到现在为止，我们都无法知道欧几里德出生和去世的准确日子，也不知道他究竟是什么地方人。只大致了解他是希腊人，生活在埃及托勒密一世统治时期。欧几里德年青时，曾经在雅典的柏拉图学园求学，受到了十分良好的教育。在欧几里德之前，数学中的几何学是十分零散的，没有完整的体系，就如同一堆砖头、水泥、木材一样，而欧几里德经过总结和分析归纳，加上自己的认识给予发展创新，把它建成为一座美丽壮观的几何学大厦。公元前300年左右，他受到埃及国王托勒密一世的邀请，前往埃及的海滨城市亚历山大城主持数学教学，主要教授几何学。雅典良好学术气氛的熏陶，使他兼收并蓄，因而知识渊博。对待几何学教学，他勤恳耐心，兢兢业业，善于培养人才。几年之后，他的声名远播，使得亚历山大城成为远近闻名的数学研究中心，作为数学教师，欧几里德的名字也变得格外响亮。教师生涯教师生涯求知无坦途欧几里德言传身教，深受学生们的敬重，连埃及国王托勒密一世也时常去向他请教问题。当时的学术气氛十分浓厚，从国王到普通平民对数学都产生了极大兴趣，许多人都沉溺在探索数学王国的快乐中。有一次，国王托勒密在演算一道几何题时，被这道几何题搞得头昏脑胀。就如同有人为几何题解不开时所说的：“几何几何，想破脑壳”那样，国王也是在题目面前弄得一筹莫展。他来到欧几里德的卧室，寒暄了几句之后，询问欧几里德：“可不可以把几何搞得简单一点，除了《几何原本》之外，还有没有学习几何的捷径可走？”欧几里德在国王面前，一点也没有去讨好的意思，而是斩钉截铁地说：“几何无王者之道！”这句话一直流传到今天，许多人把它当作学习几何的箴言。在西方，有人把它浓缩成“求知无坦途”的格言警句，提醒那些不愿付出艰辛，想走捷径去获得成功的人。欧几里德也反对那种急功近利的狭隘实用观点。据说有一次一位刚开始学几何的年轻后生，在第一道命题开讲时，他就提出来：“老师，学了几何有什么用，能得到什么好处？”欧几里德马上对身边的人说：“给他3个钱币，因为他想在学习中得到实利。”欧几里德这句话的意思是：追求知识的目的不应该是获得钱财的实利，而应当是追求知识本身。欧几里德—几何学之父从公元前7世纪到公元前3世纪的几百年里，古希腊人凭着自己开阔的视野和睿智的头脑，积累了众多的几何材料。例如在欧几里德之前的伟大数学家泰勒斯，就不用登上金字塔，而测出了金字塔的高度。在2500年前，人类就显示出了自己的聪慧。有了大量的几何事实后，下一步就是怎么样把这些事实整理出来，方便人们学习。许多人都曾为此付出了心血，但他们的成果仍显得零乱和分散，没有章法，也不够全面。而被称为“几何学之父”的欧几里德，在这样一个时期，继承和整理了前人的成果，加入了自己的研究心得，将这些知识系统化和条理化，完成了流传千年的巨著《几何原本》。《几何原本》《几何原本》，不仅包括了当时古希腊的几何学，还集中了希腊古典时期的算术、数论及代数知识。欧几里德特别注重命题之间严密的逻辑结构，他创造性采用前人未曾用过的陈述方式，先提出少数定义、公理、公设，然后由简到繁地证明一系列定理。让大家一翻书，就知道书中每个概念是什么意思。例如，什么叫点？书中说：“点是没有部分的。”这样做的好处，就是使阅读的人不会对书中提出的概念再做出别样的解释。再如欧几里德提出了5个公理和5个公设：公理1与同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。公理2等量加等量，总量仍相等。公理3等量减等量，余量仍相等。公理4彼此重合的东西彼此是相等的。公理5整体大于部分。公设1从任意的一个点到另外一个点作一条直线是可能的。公设2把有限的直线不断循直线延长是可能的。公设3以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能的。公设4所有的直角都相等。公设5如果一直线与两线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。以这些公理和公设为基础，采用逻辑推理的方法，竟然可以由简到繁地证明465个最重要的命题和推论！这种独特的陈述方法，一直被无数后来数学家所沿用！勾股定理的证明在欧氏《几何原本》中的地位是很突出的。它的证明方法是：以直角三角形的三条边为边，分别向外作正方形，然后利用面积方法加以证明。人们非常赞同这种巧妙的构思，因此，目前中学课本中还普遍保留这种方法。欧几里德的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，2000多年来，它一直统治着几何教学，从来没有一本科学书籍，能够象《几何原本》那样连续长期巩固地成为亿万学生所传诵的读物。直到今天，我们课堂上所讲授的“平面几何”内容，仍然脱离不了《几何原本》的范围。《几何原本》从1482年第1次印刷之后，全世界用各种不同文字的版本出版了1000版以上，这样普及而大量地印刷出版，在历史上除了《圣经》之外，恐怕是任何著作都无法与之相比的，所以有人把《几何原本》称作“数学家的圣经”。《几何原本》数学家的圣经欧几里德诞生的重大意义欧几里德《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它已成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。近代物理学巨星爱因斯坦也是精通几何学，并且应用几何学的思想方法，开创自己研究工作的一位科学家。爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在十二岁的时候，“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。后来，几何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示。他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假定开始。在狭义相对论中，爱因斯坦就是运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公理上：相对原理和光速不变原理。《几何原本》的千年丰碑《几何原本》的结构优美，是用公理法建立数学演绎体系的最早典范。这个美妙的平面几何体系，被一些大科学家赞美为“雄伟的建筑”、“壮丽的结构”与“巍峨的阶梯”。英国著名的哲学家、数学家罗素曾经回忆到他11岁时开始学习欧几里德几何时的感受，觉得这是他一生中的一件大事，就像初恋一样使他痴迷，想不出世界上还有什么东西这样让他感到趣味盎然。捷克数学家波尔察诺讲述过自己的一段往事，有一年在布拉格度假时得了病，浑身颤抖，精神萎靡不振。这时他无意中拿起欧几里德的《几何原本》，平生第1次阅读了第5卷中的比例理论，那种巧妙的处理使他满心欢畅，病痛竟然神奇般的痊愈了。此后，只要是他的朋友觉得身体不舒服时，他就建议朋友去服《几何原本》这副“灵丹妙药”。从《几何原本》问世后的2000多年里，它引导一代又一代青年人跨入数学殿堂，哥白尼、伽利略、牛顿、爱因斯坦，这些大名鼎鼎的大科学家，都曾得到这部书的许多教益，他们惊叹里面论证的精彩、逻辑之严密，对人类科学文化的发展，尤其是西方数学的发展，是一盏永不熄灭的明灯。《几何原本》到我国《几何原本》传人中国，首先应归功于明末科学家徐光启。徐光启(1562～1633)，字子先，上海吴淞人。他在加强国防、发展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当的贡献，对引进西方数学和历法更是不遗余力。他认识意大利传教士利玛窦之后，决定一起翻译西方科学著作。利玛窦主张先译天文历法书籍，以求得天子的赏识。但徐光启坚持按逻辑顺序，先译《几何原本》。他们于1606年完成前6卷的翻译，1607年在北京印刷发行。徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献在于确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译名。几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的。这些译名一直流传到今天，且东渡日本等国，影响深远。徐光启要求全部译完《几何原本》，但利玛窦却认为应当适可而止。由于利玛窦的坚持，《几何原本》的后7卷的翻译推迟了200多年，才由清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作完成。思考题：1、《几何原本》的主要成就有那些？它的演绎逻辑系统、公理化思想对后世数学的发展起到了怎样的作用？请你结合本讲的学习谈谈体会。同学们再见！