(0.11)《信号分析与处理》备课教案(第六章)(2)

《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦176二、部分分式法在实际中，离散时间序列)(nx的Z变换表达式)(zX通常是z的有理函数，一般可以表示成有理分式的形式kkkkrrrrzazazaazbzbzbbzDzNzX11101110)()()(对于因果序列，它的Z变换收敛域为Rz，为了保证在z处收敛，其分母多项式的阶次不能低于分子多项式的阶次，即必须满足rk。由于Z变换最基本的形式之一是1和azz，它们对应的序列分别为)(n和)(nuan。因此，利用Z变换的部分分式展开法时，通常先将zzX)(展开，然后每个分式乘以z，这样对于一阶极点，)(zX便可以展成mzzz的形式。如果)(zX只具有一阶极点且不为零，则zzX)(可以展成KmmmzzAzzX0)(，即《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦177KmmmzzzAzX0)((6.3-4)式中mz是zzX)(的极点，mA是zzX)(在mz上的留数，其等于mmzzmzzmzzXzzzzXsA)()()(Re(6.3-5)注：mA也可以采用待定系数配平法求出。式(6.3-4)也可以表示为如下形式KmmmzzzAAzX10)((6.3-6)这里，mz是)(zX的极点，而0000)(abzXAz（1）若)(zX的收敛域为Rz，则)(nx为因果序列，从而由式(6.3-6)可得逆变换)(nx为：KmnmmnuzAnAnx10)()()()(（2）若)(zX的收敛域为Rz，则)(nx为反因果序列，从而由式(6.3-6)可得逆变换)(nx为：KmnmmnuzAnAnx10)1()()()(例题1、已知)2)(1()(2zzzzX，其收敛域分别为：《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦178(1)2z；(2)1z；(3)21z；求其逆变换)(nx。解：因为)(zX只有两个一阶极点且不为零，即11z、22z，所以可方便地将zzX)(用部分分式进行展开21)2)(1()(21zAzAzzzzzX这里，1A和2A可以采用留数法或系数配平法求出。采用式(6.3-5)所表示的留数法：31)2)(1()1()(Re111zzzzzzzzXsA32)2)(1()2()(Re222zzzzzzzzXsA采用待定系数配平法，可得zzAzA)1()2(21zAAzAA)2()(2121即0212121AAAA解得：311A，322A所以，2132113121)(21zzzAzAzzX即，232)1(31232131)(zzzzzzzzzX(1)当)(zX的收敛域为2z时，)(nx为因果序列)()2(32)1(31)()2(32)()1(31)(nunununxnnnn《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦179(2)当)(zX的收敛域为1z时，)(nx为反因果序列)1()2(32)1(31)1()2(32)1()1(31)(nunununxnnnn(3)当)(zX的收敛域为21z时，)(nx为双边序列)1()2(32)()1(31)(nununxnn例题2、已知231055)(22zzzzzX，其收敛域为2z；求其逆变换)(nx。解：因为，)2)(1(1055231055)(222zzzzzzzzzX可见，)(zX只有两个一阶极点且不为零，即11z、22z，所以21)2)(1(1055)(2102zAzAzAzzzzzzzX注意对于zzX)(，多出一个一阶极点0z5)2)(1(1055)(Re0200zzzzzzzzzzXsA《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦18010)2)(1(1055)1()(Re1211zzzzzzzzzzXsA10)2)(1(1055)2()(Re2222zzzzzzzzzzXsA当然，上面0A、1A和2A也可以采用待定系数配平法来求得。所以，2101105)(zzzzzX即，21011052101105)(zzzzzzzzzX因为)(zX的收敛域为2z，故)(nx必为因果序列)()12(10)(5)()2(10)(10)(5)(nunnununnxnn例题3、已知序列的Z变换表达式为)3)(2)(1)(21()21294()(23zzzzzzzzzX其收敛域为21z；求其逆变换)(nx。解：因为)(zX有四个一阶极点且不为零，所以《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦18132121)3)(2)(1)(21(21294)(432123zAzAzAzAzzzzzzzzzX1)3)(2)(1)(21(21294)21()(Re2123211zzzzzzzzzzXsAzz同理可求得：22A、13A、14A，因此321221)(zzzzzzzzzX因为)(zX的收敛域为21z，而上式前两项作为因果序列的收敛域满足1z，后两项作为反因果序列的收敛域满足2z，因此)(nx为双边序列。即为)1()3()1()2()(2)()21()(nununununxnnn三、幂级数展开法(长除法)因为)(nx的Z变换定义为1z的幂级数nnznxzX)()(所以，只要在给定的收敛域内把)(zX展成幂级数，级数的系数就是序列)(nx。《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦182在一般情况下，)(zX是有理函数，即)()()(zDzNzX。如果)(zX的收敛域是1Rz，则)(nx必然是因果序列，此时)(zN、)(zD均按z的降幂（或1z的升幂）次序进行排列；如果)(zX的收敛域是2Rz，则)(nx必然是反因果序列，此时)(zN、)(zD均按z的升幂（或1z的降幂）次序进行排列。然后利用长除法，便可将)(zX展成幂级数，从而得到)(nx。如果)(zX的收敛域是21RzR，则)(nx必然是双边序列，此时应首先根据其收敛域及极点分布，把)(zX分解为两个部分分式之和，即)()()()()()()(2211zDzNzDzNzDzNzX其中，)()(11zDzN与)()(22zDzN分别为因果序列/右边序列)(1nx与反因果序列/左边序列)(2nx对应的Z变换。然后由长除法分别求出)(1nx与)(2nx，最后构成)(nx。例1、求2310)(2zzzzX的逆变换，收敛域为2z。解：)(zX的收敛域为2z，故)(nx必为因果序列。此时)(zX的分子分母按z的降幂排列，用长除法进行求解，有《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦183例2、求2310)(2zzzzX的逆变换，收敛域为1z。解：)(zX的收敛域为1z，故)(nx必为反因果序列。此时)(zX的分子分母按z的升幂排列，用长除法进行求解，有《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦184例3、求2112121)(zzzzX的逆变换，收敛域分别为1z和1z。解：(1)由于)(zX的收敛域为1z，故)(nx必为因果序列。此时)(zX的分子分母按1z的升幂排列，即2112121)(zzzzX用长除法求解，有0321)13(10741)(nnznzzzzX所以，)()13()(nunnx《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦185(2)由于)(zX的收敛域为1z，故)(nx必为反因果序列。此时)(zX的分子分母按1z的降幂排列，即1212)(121zzzzX用长除法求解，有1132)13()13(852)(nnnnznznzzzzX所以，)1()13()(nunnx例4、求2)(22zzzzF的逆变换，收敛域为21z解：《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦186小结：1、如果)(zX只具有一级极点且不等于零，则采用部分分式法进行逆变换求解比较方便；2、如果)(zX具有m级极点(1m),或具有等于零的一级极点，则采用留数法进行逆变换求解比较方便；3、长除法对)(zX具有多适应性，但很难得到解的闭合形式。6.4.Z变换的性质Z变换所具有的性质，在研究离散时间信号与系统时十分有用。本节讨论Z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边Z变换。一、线形特性若)()]([zXnxZ21xxRzR)()]([zYnyZ21yyRzR则)()()]()([zbYzaXnbynaxZ21RzR其中，a,b均为常数。一般来说，叠加后Z变换的收敛域是)(zX与)(zY的收敛域的重叠部分，即),min(),max(222111yxyxRRRzRRR，《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦187当这些线形组合中，出现零极点相互抵消的现象时，则收敛域可能扩大。例1、已知)()(nuanxn，)1()(nuanyn，其中0a；求)]()([nynx的Z变换。解：因为azznxZzX)]([)(azazaazazzazaazzaznuaznynyZzYnnnnnnnn11332211001)1()()]([)(由于级数收敛的条件是：11az，即收敛域az故，1)]([)]([)]()([azazazaazznyZnxZnynxZ可见，上述)(nx与)(ny线形组合序列的Z变换，因在az处的零点和极点抵消，使收敛域扩大至整个z平面。例2、求序列)()3()(nunnx的Z变换。解：因为，)(3)()()3()(nunnununnx《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦188而，2)1()]([zznnuZ)1(z)1()]([zznuZ)1(z所以，222)1(3413)1()](3[)]([)]()3[()]([)(zzzzzzznuZnnuZnunZnxZzX)1(z二、时移特性该特性表明序列在时域位移后的Z变换与原Z变换的关系。注意：单、双边Z变换的时移特性具有较大的差别。1、双边Z变换的时移特性若序列)(nx的双边Z变换为：)()]([zXnxZ)(21RzR则)()]([zXzmnxZm0m且为正整数收敛域仍为)(21RzR。另有，)()]([1zXnxZ(只适用于双边Z变换)2、单边Z变换的时移特性若序列)(nx的单边Z变换为：)()]()([zXnunxZ,收敛欲为)(1Rz，则序列左移为)(mnx，其单边Z变换为：《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学