(0.9)《信号分析与处理》备课教案(第五章)(2)

《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦1385.4.拉普拉斯逆变换在采用拉氏变换进行系统分析时，不仅需要对时域函数)(tf进行拉氏变换，而且常常需要由象函数)(sF求去原函数)(tf，即要进行拉普拉斯逆变换。一般来说，直接利用定义式求取拉氏反变换涉及到复变函数积分，因此比较困难。通常还可采取其它的方法，如：部分分式法、留数法，以及查表法和利用性质等。本节主要介绍采用部分分式法求取拉氏逆变换。这里，)()(tn代表)(t的n阶导数。《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦139则，)(sincos2)(1tutBtAetft《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦140解：因为)(sF为假分式，所以首先化为真分式形式：《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦141《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦142《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦143《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦1445.5.拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系一、双边拉氏变换与傅立叶变换的关系设函数)(tf的双边拉氏变换和傅立叶变换均存在，即dtetfjFtj)()(dtetfdtetfdteetfsFsttjtjtb)()()()()(可见，只要将令js(即0)，就可从双边拉氏变换表达式)(sFb，得到)(tf的傅立叶变换表达式)(jF，届时变换的讨论区域也从整个s平面缩小到j轴。由此也可以看出，傅立叶变换仅是双边拉氏变换的一个特例。二、单边拉氏变换与傅立叶变换的关系若函数)(tf为因果信号，则其的拉氏变换就是单边拉氏变换，欲从单边拉氏变换求取傅立叶变换，则不能象双边拉氏变换那样简单地以j置换s，而应根《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦145据收敛区的不同特点具体进行分析。设函数)(tf的单边拉氏变换的收敛边界为0，则其收敛域为0，根据0值的不同可分为三种情况：(1)00此时收敛边界位于s平面的右半部，收敛域不包括j轴，此时)(tf为随时间增长的函数，所以不存在函数)(tf的傅立叶变换)(jF(即)(tf不是绝对可积)。例如，)(2)(3tuetft，其拉氏变换为32)]([)(stfLsF收敛域为3)Re(0s，此收敛域不包括j轴，所以)(tf不存在傅立叶变换)(jF。(2)00此时收敛边界位于s平面的左半部，收敛域包括了j轴，此时)(tf为随时间衰减的函数，所以存在函数)(tf的傅立叶变换)(jF(即)(tf是绝对可积的)。由于此时)(tf的傅立叶变换和拉氏变换均存在，因此只要令)(sF中的js就可得到)(jF。例如，)(2)(3tuetft，其拉氏变换为32)]([)(stfLsF收敛域为3)Re(0s，此收敛域包括了j轴，《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦146所以)(tf存在傅立叶变换)(jF，且32)(jjF。(3)00此时收敛边界为虚轴，此时)(tf的傅立叶变换和拉氏变换均存在，但变换关系比较复杂，这里不再予以详细讨论。总之，由上述分析可以知道，由于稳定的因果系统的系统函数)(sH的所有极点均在s域的左半平面，所以在频域中的系统函数总是满足jssHjH)()(5.6.连续系统的S域分析本部分内容包括教材6.5节和6.6节拉氏变换是分析线性连续系统的强有力工具，其中求解系统响应是其最重要的应用之一。求解步骤大致如下：首先对描述系统的时域模型进行拉氏变换，得到一个代数方程，求出其解答(即复频域解)后，经拉氏反变换即可得到时域解，且在求解过程中自动包含了系统初始状态的作用。一、微分方程的变换解由于描述n阶系统的微分方程的一般形式为《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦147如果已知系统的初始状态为：)0(y，)0(y，…，)0()1(ny，则对上式两边取拉氏变换，可得：若)(tf为因果信号，则有：)()()(sFstfjj，即所以，)()()()0()(000010)(1sYsYsFsasbsaysasYfxniiimjjjniiiniipppii所以，对)(sY取拉氏反变换就可得到系统的全响应)]([)(1sYLty，同理可得系统的零输入响应和零状态响应分别为)]([)(1sYLtyxx和)]([)(1sYLtyff。例、描述某LTI系统的微分方程为)(2)(6)(5)(txtytyty已知系统初始状态为：1)0(y，1)0(y；系统激励为)(cos5)(tuttx，求：系统的零输入响应、零状态响应和全响应。《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦148解：因为系统激励)(tx为因果信号，同时考虑到系统的初始条件，对原微分方程两边同取拉氏变换，得：)(2)(6)]0()([5)]0()0()([2sXsYyssYysysYs即，)(2)0(5)0()0()(]65[2sXyysysYss所以，)(65265)0(5)0()0()(22sXssssyysysY因为，)(cos5)(tuttx15)(2sssX所以，3122)3)(2(465)0(5)0()0()(2sssssssyysysYx则零输入响应为)(]2[3122)]([)(3211tueessLsYLtyttxx又因为jsejsesssssssXsssYjjf44222121332415)3)(2(2)(652)(则零状态响应为《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦149)(4cos23421213324)]([)(324411tuteejsejsessLsYLtyttjjff所以，全响应为)(4cos222)()()(32tuteetytytyttfx二、电路的S域模型对时域电路取拉氏变换，相关电路元件的S域模型和参数如下所示：《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦150注意：R、sL、sC1分别为电阻、电感和电容的s域运算阻抗，)0(LLi与suc)0(分别为由电感与电容的初始状态所决定的等效电压源。例、如图(a)所示的电路耦合网络，其网络元件参数及初始状态为：FC1，511R，12R，HL21，《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦151Vvc5)0(，AiL4)0(；若在0t时电源激励为Vtv10)(，试用s域分析方法求解电路全响应电流)(ti。解：将网络中各元件用s域模型替代，得到电路网络的s域模型如图(b)所示。V(t)+-Ci(t)LR1i2(t)R2i1(t)V(s)+-I(s)R2sLLiL(0-)-+R1I1(s)+-I2(s)1/scVC(0-)/s图(a)图(b)因为，)()()(21sIsIsI)()()(21sIsIsI又因，)(10)(tutvssV10)(所以，根据电路的KVL定理，可得：0)]()([)0()()(0)()]()([)0(1)(1222212RsIsILisLsIRsIsVRsIsIsvsCsILc将元件参数及初始状态代入上述方程组，可得：051)]()([22)()(01051)]()([51)(2222sIsIssIsIssIsIsssI《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦152求解此方程组，消去)(2sI，可得：456327)4)(3(60291276029)(2sssssssssI所以，)(5627)]([)(431tueesILtitt5.7.系统函数当系统的初始条件为零时，其零输入响应为零。而系统零状态响应的象函数)(sYf与激励输入象函数)(sX之比，定义为系统函数，用)(sH表示，即系统函数)(sH定义为：)()()(sXsYsHf系统函数)(sH只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。因为在时域，系统的零状态响应)(tyf就是系统的冲击响应)(th与系统激励)(tx的卷积，即)()()(txthtyf两边取拉氏变换即有：)()()(sXsHsYf可见，)()()()(sHsXsYsHf因此，系统函数)(sH与单位冲击响应是一组拉氏变换对，即)]([)(1sHLth《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦153例1、已知描述系统的微分方程为)(3)(2)(2)(3)(22txdttdxtydttdydttyd试求：(1)系统函数)(sH和单位冲击响应)(th(2)若激励)()(3tuetxt，求系统零状态响应)(tyf。解：(1)因为求系统函数)(sH不需考虑初始状态，因此对原微分方程两边进行拉氏变换，可得：)(3)(2)(2)(3)(2sXssXsYssYsYsfff即，2111)2)(1(322332)()()(2sssssssssXsYsHf所以，)()(2111)]([)(211tueessLsHLthtt(2)因为，)()(3tuetxt31)(ssX所以，3232112131)2)(1(32)()()(ssssssssXsHsYf则，)(2321)]([)(321tueeesYLtytttff例2、如下图(a)所示电路，)(tf为电源输入，)(tu为电《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦154路输出，已知电路参数为：RR121，HL5.0，FC5.0；试求电路的系统函数)(sH和单位冲击响应)(th。解：电路在零状态下，将网络中各元件用s域模型替代，得到电路网络的s域模型如图(b)所示。+-f(t)R1LR2Cu(t)+-+-F(s)R1LsR21/CsU(s)+-图(a)图(b)阻抗2R与Cs1并联，设其总电阻为R，则CsRCsRR1122所以，根据电路分压关系，可以得到：)()(1sFRLsRRsU，所以22212)2(22844)()()(sssRLsRRsFsUsH所以)(2sin22)2(22)]([)(22211tutesLsHLtht《信号分析与处理》教案第五章：拉普拉斯变