3.1正整数指数函数

第三章指数函数和对数函数§1正整数指数函数一种产品的利润原来是a元，在今后10年内，计划使利润每年比上一年增加20%.问题1：在今后10年内，每年的利润是上一年的多少倍？提示：1＋20%＝1.2(倍)．问题2：在今后10年内每年的利润y随经过年数x变化的函数关系式是什么？提示：y＝a×1.2x.问题探究：正整数指数函数的定义1.某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个，……一直分裂下去（如图）（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别是1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数分裂次数（n）12345678细胞个数（y）(2)如何用图像表示1个细胞分裂次数n(n∈N+)与得到的细胞个数y之间的关系？图像是一些孤立的点随着时间的增加细胞个数在增加。248163264128256（3）你能写出y与n之间的关系式吗？试用科学计算器计算细胞分裂15、20次后得到的细胞个数.细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为：2(N)nyn用科学计算器算得152327682021048576细胞分裂15次、20次后得到的细胞个数分别是32768个和1048576个。２．电冰箱使用的氟化物的释放会破坏大气层中的臭氧层。臭氧含量Q近似满足关系式0QQ0.9975t,其中0Q是臭氧的初始量，t是时间(年)。设0Q=1.(1)计算经过20，40，60，80，100年后，臭氧含量Q.(2)用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化.(3)试分析随着时间的增加,臭氧含量Q是增加还是减少.204060801000.99750.95120.99750.90470.99750.86050.99750.81850.99750.7786,4,6,8,1Q（1）使用科学计算器可算得，经过2000000年后，臭解:氧含量分别是：（2）下图表示每隔20年臭氧含量Q的变化，它的图像是由一些孤立的点组成.(3)通过计算和看图可以知道，随着时间的增加，臭氧的含量在逐渐减少.Q020406080100t/年0.20.40.60.81.02nNny，0.9975,Ntyt思考：上述两个关系式是函数关系吗，如果是，对照两个函数的解析式你能分析这两个函数的共同点吗？问题探究：正整数指数函数的定义提示：1、底数都是常数；2、变量都在指数上；3、变量取正整数（图像是孤立的点）y=2n,n∈N+Q=0.9975t,t∈N+常数自变量函数y=ax(a0,a≠1,x∈N+)叫作正整数指数函数.其中x是自变量，定义域是正整数N+正整数指数函数的概念：一般地，函数y=ax（a0,a≠1,x∈N+）叫做正整数指数函数，它的定义域是N+.特别指出的是有如下特点：xya①x是自变量，定义域是正整数集,x在指数上.N②当a1时，是单调递增函数，当0a1时，是单调递减函数.③规定底数a大于0且不等于1.④形式的严格性：前的系数必须是1，自变量x在指数的位置上.xyaxa例1:判断下列函数是否为正整数指数函数3()xyxN3()xyxN23()xyxN3()yxxN(1)(2)(3)(4)()()()()√√××例2.下列给出的正整数指数函数是减函数的是()0.999()xyxN1.2()xyxN3()xyxN()xyexNA.C.B.D.c解：由正整数指数函数的定义知，①③④不是正整数指数函数，②是，故选B.B2.已知函数y＝(a2-5a+7)(2a－4)x(x∈N＋)是正整数指数函数，则实数a的取值是________．25712403241aaaaa解:由正整数指数函数的定义可知解得：在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数例题:某地现有森林面积为1000hm2,每年增长5%，经过(N)xx年，森林面积为yhm2，写出,xy间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积.例题精讲列举法同理,三年后的森林面积为31000(15%)y四年后的森林面积为41000(15%)y五年后的森林面积为51000(15%)y小试牛刀某市2013年开始新建住房400万平方米，预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．求经过年以后所建住房的累计面积（以2013年为累计的第一年）问题：你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？(2),xyxN1,2xyxN（）练习：在同一坐标系中画出下列函数的图象：yx0•••••621432810(2)xy•12xy（）提示：考虑底数与1的大小对函数单调性的影响当0a1时，图像上表现出下降，从数据的特征上可知函数递减当a1时，图像上表现出上升，从数据的特征上可知函数递增1.下列给出的四个正整数指数函数中，在定义域内是减少的是()A.y=1.2x(x∈N+)B.y=3x(x∈N+)C.y=0.99x(x∈N+)D.y=πx(x∈N+)【解析】正整数指数函数y=ax(a0,a≠1,x∈N+)当0a1时是减少的，只有C选项符合题意.C2.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（1个分裂为2个），这种细菌由1个繁殖成1024个需要的时间是()A.120分钟B.160分钟C.180分钟D.200分钟【解析】根据题意设由1个细菌繁殖成1024个需要分裂x次，则2x=1024=210,所以x=10，又每20分钟分裂一次，所以需要的时间是20×10=200（分钟）.D3．某一电子产品的年产量去年是10万件，今后计划使年产量每年比上一年增加，则5年后产量为10×(1+7%)5万件.7%1．正整数指数函数的概念.2.简单正整数指数函数的图像的画法.