《逻辑学》第三章 命题的自然推理

《逻辑学》3.1重言式真值形式与真值函项真值形式从自然语言来看逻辑形式，有时需要考虑真假关系之外的因素，如支命题之间的相关性，语句的顺序等。如①如果摩擦，则生热；明天或者有雨，或者无雨②如果2＋2＝5，那么男人就不是男性；或者拉登已死，或者明天下雨第②组至少是令人奇怪的，因为从常识来看，支命题之间缺少相关性。情有可原，理无可恕；理无可恕，情有可原支命题顺序不同，意义不同。可以用类似于几何证明的方法证明所有复合命题的逻辑真理。检验复合命题推理的有效性就变成一种逻辑演算。但逻辑学难以对付诸如相关性、顺序等影响命题真假的因素。逻辑研究撇开逻辑联结词在自然语言中的非真值意义，仅从复合命题与支命题之间的真假制约关系来考虑逻辑联结词，这样，逻辑联结词就成为真值联结词；命题的逻辑形式也就成为真值形式。真值联结词真值形式仅仅反映支命题与复合命题之间的真值关系的逻辑联结词仅仅反映支命题与复合命题之间的真值关系的命题形式基本真值联结词¬否定∧合取∨析取蕴涵等值基本真值形式真值形式是命题形式的一部分“不但，而且”等不是真值形式。在命题逻辑中，命题形式也就是真值形式。命题形式的定义(ⅰ)任何命题变项是命题形式，如，p，q，p1(ⅱ)若A与B是命题形式，则¬A、A∧B、A∨B、AB、AB也是命题形式（ⅲ）只有符合(ⅰ)、(ⅱ)的才是命题形式5种基本真值形式¬p否定式p∧q合取式p∨q析取式pq蕴涵式pq等值式真值函项与函数类比函数讲的是数值关系，一个函数的值依赖于其中变数的值y＝f（x），即y的值f（x）由x的取值决定。真值函项讲的是真值（真假）关系，一个真值形式的值依赖其变项的值，如p∧q的值，由p和q的值决定。每一真值形式都是真值函项；真值形式与真值函项的数目并不一样多，真值形式的数目无限，真值函项数却是确定的；不同的真值形式，表达相同的真值函项；真值函项是对公式中变项的真假组合的真值断定，变项组合数2n，对每一组合有真假两种断定，故真值函项数为22n。当n（变项数）为1时，其真假组合为2，对真假组合的断定有4种可能，即真值函项有4个；变项数为2，则真值函项有16个；变项数为3，则真值函项为256个。Pf1f2f3f4tttffftftf真值函项是确定的，但真值形式是无穷的。f1永真式（重言式）f4永假式（矛盾式）f2f3可满足式（可真可假）永真式表达逻辑规律，永假式的否定也是永真式，逻辑主要研究重言式p∨¬ppp¬（p∧¬p）p∨pp∧p¬（¬p）¬pp¬p¬p∨¬pp∧¬p¬（pp）¬（p∨¬p）若变项数为2，则真值函项总数是16，但其真值函项的种类仍是3类，即重言式、矛盾式和可满足式：f1是重言式，f16是矛盾式，f2—f15是可满足式f1f2f3f4pqf1f2f3f4f5f6f7f8f9f10f11f12f13f14f15f16ttttttttttfffffffftfttttffffttttffffftttffttffttffttfffftftftftftftftftff1p∧qp;pp∨q;(p∧q)∨(p∧¬q)∨(¬p∧q)∨(¬p∧¬q)等f2p∨q;¬(¬p∧¬q)等f3¬p¬q；qp；p∨¬q等f4p∨(q∧¬q)；p∧（q∨¬q)等f5pq；¬p∨q；¬q¬p等f6q∨(p∧¬p)；q∧（p∨¬p)等f7pq;(pq)∧(¬p¬q)f8p∧q;¬(¬p∨¬q)f9f8的矛盾式f10f7的矛盾式f11f6的矛盾式f12f5的矛盾式f13f4的矛盾式f14f3的矛盾式f15f2的矛盾式f16f1的矛盾式随着变项数目的增加，函项数也增加，当变项数目为3时，函项数目达到256个。但不管函项数是多少，重言式的函项只是一个，矛盾式的函项也是一个，其余均是可满足式。真值函项有3类，那么，表达真值函项的真值形式也有3类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）和可满足式（可真可假式）。当然，每一类真值函项包括很多的真值形式，而同一类真值函项的真值形式是等值的。通过研究真值函项，使我们看到无穷的真值形式中的同一的和本质的东西，即不同形式的真值形式（公式）表达相同的真值函项。而且，可以把纷繁的真值形式加以归类，因为有多少真值函项，就有多少真值形式的类，使逻辑研究集中于规律性的东西上。逻辑主要研究重言式。重言式重言式是逻辑真理的表现形式，是关于复合命题的逻辑规律其中的重言蕴涵式、重言等值式表达有效推理常见的重言式（逻辑规律）见教科书p83－843.2命题的真值判定方法真值表方法真值表的作用定义作用：5个基本真值形式的真值表定义了5个真值形式。如，什么是合取式？回答是，每一支命题为真，则它为真的那种真值形式，这正是合取式的真值表反映的情况。pqp∧qtttfftfftfff判定作用：1、判定一个公式的性质（重言式，矛盾式或可满足式）；2、判定任意多个公式的关系（等值或矛盾等）；3、判定一个推理是否有效，即它是否一个重言的蕴涵式或等值式。真值表的作法分解公式。把一复杂公式分解为支命题和命题变项。如（（p∧q）r）（（¬r∧p）¬q）先找到主联结词，即最大括号外的联结词。蕴涵号得到（（p∧q）r）和（¬r∧p）¬q）再行分解得到p∧q和r；¬r∧p和¬q按变项－最简单公式－复杂公式顺序排列p，q，r，¬q，¬r，p∧q，¬r∧p，（p∧q）r，（¬r∧p）¬q，最后是总公式（（p∧q）r）（¬r∧p）¬q）可以坚持一条原则：一公式的支命题在前，该公式在后，因此顺序也可排为p，q，r，¬q，¬r，p∧q，（p∧q）r，¬r∧p,（¬r∧p）¬q，只要保证，被判定的公式的支命题在先已经赋值即可。然后画表，先画一个偏十字或表格，将分解后的公式成分由简到繁写进表（（p∧q）r）（（¬r∧p）¬q）的真值表作法第一步：分解公式，画表3个变项，其真假组合共有23＝8种可能因此有8行；变项有3个，整个公式可分解为7部分，共有10列。pqr¬q¬rp∧qp∧qr¬r∧p¬r∧p¬q(p∧q）r）（¬r∧p）¬q第二步：由简到繁填入欲赋值的公式pqrtttttftfttfffttftffftfff第三步：给变项赋值（技巧：先给最后一个变项按一真一假赋值，再给第2个变项按两真两假赋值；再给第一个变项按四真四假赋值）pqr¬q¬rp∧qp∧qr¬r∧p¬r∧p¬q(p∧q）r）（¬r∧p）¬qtttffttfttttffttftfttfttfftftttffttfttttfttffftfttftfftftfttffttfftfttfffttftftt第四步：依次按照5个基本真值形式的真值表给每个子公式赋值第五步：根据真值表中的总公式即最后一列的赋值，对公式做出判定。此总公式下每一行均为真，故该蕴涵式为重言式，即一个有效推理形式。判定多个公式的性质或关系pq¬p¬qp∧q¬（p∧q）¬p∨¬qp∨¬pp¬qttfftfftftfftfttttfttffttttffttftttt可以看出：第5列与第6列取值完全相反，二者为矛盾关系第6列与第7列取值完全相同，二者为等值关系第6列与第9列取值完全相同，二者为等值关系第8列每一行取值均为真，是重言式123456789简化的真值表方法（归谬赋值法）仅适用于蕴涵式是否重言式的判定。蕴涵式表达一个推理形式，因此也是一种判定复合命题推理是否有效的方法。由于其他的公式可以转换成蕴涵式，所以，这是一种有一定普遍性的方法。原理：一个公式或真或假；否定一个矛盾式，就得到一个重言式；否定一个重言式，就得到一个矛盾式；假设一个公式为假，如果至少一个变项的赋值必定出现矛盾（既赋真，又赋假），则表明原来的假设是错误的，否定假，就得到真，即原公式是重言式。步骤：1、写出被判定公式的横式（如有必要将其转换成蕴涵式）；2、假设该蕴涵式为假；3、依次按照基本真值形式的定义，给每一变项赋值；4、看得到赋值后的任一变项是否必然矛盾；5、若至少有一变项的赋值必然矛盾，则原公式是重言式，它表达的推理是有效的；否则不是重言式，相应的推理是无效的。第一步：（（pq）∧¬q）¬p（（pq）∧¬q）¬pF第二步：假设蕴涵式为假（（pq）∧¬q）¬p第三步：给变项赋值(1)(2)(3)TFF（（pq）∧¬q）¬p（（pq）∧¬q）¬pFTFTTFFFTTTTFF（（pq）∧¬q）¬pF或者另一种可能TTTTTFFFT第四步：判定。变项p的赋值矛盾，所以该公式是重言式，对应的推理是有效的。（（p∧q）r）（¬r∧p）¬q）1F2TF3TF4TTT5FF6TFF变项q的赋值必然出现矛盾，故该蕴涵式（推理）是有效的。若使得q不出现矛盾，则p必定出现矛盾；若使p、q不出现矛盾，则r必定矛盾。总之，三个变项必有一个出现矛盾，因此，赋值后变项出现矛盾是必然的。3.2命题的自然推理自然推理系统的构成初始符号命题变项符号p，q，r…，p1，p2，pn5个基本真值联结词形成规则(ⅰ)任何命题变项是命题形式，如，p，q，p1(ⅱ)若A与B是命题形式，则¬A、A∧B、A∨B、AB、AB也是命题形式（ⅲ）只有符合(ⅰ)、(ⅱ)的才是命题形式推理规则10条建立证明的规则从给定的前提或假设出发，运用推理规则，得到所要求的结论。在这一过程中，除了用到上述东西而外，再无其他东西。推理规则（1）重现律AA（2）蕴涵消去律_A,ABB（3）蕴涵引入律+[A]AB（4）合取引入律∧+A，BA∧B（5）合取消去律∧_A∧BA∧BAB（6）析取引入律∨ABA∨BA∨B（7）析取消去律∨[A][B]A∨BCCC（8）否定引入律¬＋[A]B∧¬B¬A（9）否定消去律¬－¬¬AA（10）等值引入律＋[A][B]BAAB＋－例11.pq2.qr/∴pr3.PAP4.q1,3_5.r2,4_6.pr3,5+例21.pq2.¬q/∴¬p3.PAP4.q1,3_5.q∧¬q2,4∧+6.¬p3,5¬+例31.pq2.rs3.p∨r/∴q∨s4.PAP5.q1,4_6.q∨s5,∨+7.rAP8.s2,7_9.q∨s8,∨+10.q∨s3,—9∨_[p][r]p∨rq∨sq∨sq∨s证明逻辑公式，就是证明无前提公式（前提均为假设）例4证明pp1.pAP/∴pp2.p1,重现律3.pp1,2+例5证明p¬¬p例6证明p∨qq∨p1.pAP2.¬pAP3.p∧¬p1,2∧+4.¬¬p2,3¬+5.p¬¬p1,4+1.p∨qAP2.PAP3.q∨p2,∨+4.qAP5.q∨p4,∨+6.q∨p2－5,∨_7.p∨qq∨p1,6+例7证明(p(qs))(q(ps))1.p(qs)AP2.qAP3.pAP4.qs1,3_5.s2,4_6.ps3,5+7.q(ps)2,6+8.p(qs))(q(ps)1,7+本章概要：现代逻辑运用形式语言研究命题逻辑。仅从真值角度来看，命题形式就是真值形式。真值形式和其变项的关系是函数关系，真值形式是真值函项的表达形式。基本真值联结词有5个：否定、合取、析取、蕴涵、等值。基本真值形式包括否定式、合取式、析取式、蕴涵式和等值式。真值函项的个数是22n个（n是变项的数目）。真值函项有三类：永真式（重言式）、永假式（矛盾式）和可满足式。同一真值函项的真值形式是等值的。矛盾式的否定是重言式，重言式的否定是矛盾式。重言式即是逻辑规律。重言蕴涵式表达有效推理。由于真值形式的值唯一地由其变项的真值组合决定，因此其值可以用机械的方法加以判定。根据有效推理是一重言蕴涵式这一性质，可以用归谬赋值法来确定一个推理是否有效。其要点是：假设蕴涵式假，进行推导，如果必然得到至少一个赋值矛盾的变项，则蕴涵式是有效推理形式。现代逻辑的命题逻辑是一个形式系统，所有逻辑真理，或是该系统的推理规则（10条）之一，或是其一个定理。对一个定理的证明仅利用前提、假设、推理规则来进行。谢谢观看