求二阶常系数齐次线性微分方程

1第三节二阶微分方程§5.3.1特殊二阶微分方程§5.3.2二阶线性微分方程§5.3.3二阶常系数线性微分方程2积分2次就可以得到通解.通解中包含两个任意常数，可由初始条件确定这两个任意常数.§5.3.1特殊二阶微分方程1.''()yfx型2.''(,')yfxy型这种类型方程右端不显含未知函数，可先把看作未知函数.y'y3设,)(xpy原方程化为一阶方程设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy例1.求方程的通解.'''xyye4补例.求解yxyx2)1(2,10xy30xy解代入方程得pxpx2)1(2分离变量积分得21lnln(1)ln,pxC,30xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10xy,12C得133xxy因此所求特解为53.(,)yfyy型令),(ypyxpydd则xyypdddd故方程化为设其通解为),,(1Cyp即得分离变量后积分,得原方程的通解6例2求解代入方程得两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp即(一阶线性齐次方程)故所求通解为解xpydd则xyypddddyppdd7如果一个二阶微分方程中出现的未知函数及未知函数的一阶、二阶导数都是一次的，这个方程称为二阶线性微分方程.它的一般形式为,)()()(xfyxqyxpy时,称为非齐次方程;0)(xf时,称为齐次方程.0)(xf§5.3.2二阶线性微分方程现在我们讨论二阶线性微分方程具有的一些性质.事实上，这些性质对n阶微分方程也成立.8])[(11yCxP][)(11yCxQ0证毕)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边,得][11yC22yC22yC22yC])()([1111yxQyxPyC])()([2222yxQyxPyC(叠加原理))()(2211xyCxyCy则定理1.9说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.10定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数11两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使1221)()(kkxyxy(无妨设)01k线性无关)()(21xyxy常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关(证明略)线性无关12定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则)()(2211xyCxyCy数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为xytan21y13)(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将)(*)(xyxYy代入方程①左端,得)*(yY)*()(yYxP))()((YxQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ②①14)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解xCxCYsincos21对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.15定理4.是方程的解,分别是方程12()()()()yPxyQxyfxifx1()()()yPxyQxyfx的解.如果则与2()()()yPxyQxyfx2()yx16定理5.分别是方程的特解,是方程),,2,1()()()(nkxfyxQyxPyk)()()(1xfyxQyxPynkk的特解.(非齐次方程解的叠加原理)例1求方程10,(1)11xyyyxxx满足初值条件的特解.003,'2xxyy17§5.3.3二阶常系数线性微分方程在生产实践可科学实验中，有时需要研究力学系统或电路系统的问题.在一定条件下，这类问题的解决归结于二阶微分方程的研究.在这类微分方程中，经常遇到的是线性微分方程.如力学系统的机械振动和电路系统中的电磁振荡等问题，都是最常见的问题.1.两个例子(1)弹簧的振动问题(2)电磁振荡18(1)弹簧的振动问题当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.19据牛顿第二定律得,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力作用，tpHFsin，令mhH则得强迫振动方程:tphxktxntxsindd2dd22220求电容器两两极板间电压0ddiRCqtiLE联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.cu提示:设电路中电流为i(t),∼~‖LERKCqqi上的电量为q(t),自感电动势为,LE由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串极板在闭合回路中,所有支路上的电压降为0(2)电磁振荡21LCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得0dd2dd2022CCCututu~‖LERKCqqi22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化为关于cu的方程:故有22二阶常系数齐次线性方程的标准形式0qyypy二阶常系数非齐次线性方程的一般形式是)(xfqyypy2.二阶常系数线性微分方程的解法其中p,q为常数.从上面两例可看出，不论是机械振动还是电磁振荡，在数学上都归结为二阶常系数线性方程.因此研究这种微分方程是很有实用价值的.23(1)二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法0qyypy,xye设将其代入上方程,得2()0xpqe0,xe故有20pq特征方程特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于0即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想有特解xye由此可见只要满足代数方程函数就是微分方程的解20pqxye24特征方程有两个不相等的实根特征根为214,2ppq224,2ppq两个线性无关的特解11,xye22,xye得齐次方程的通解为1212;xxyCeCe1).042qp下面分三种情况讨论常系数齐次线性方程的通解.252）240pq若，则特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:1[xe1()puu0uq211(2)uuu是特征方程的重根0u取u=x,则得12,xyxe因此原方程的通解为112()xyCCxe2111(2)()0upupqu263)240pq若，有两个复根特征方程有一对共轭复根的情形这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx27例1.032yyy求方程的通解.解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为例2.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解:特征方程0122rr有重根,121rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为22C2822ddtx20x特征方程:220,1,2i特征根:12cossinxCtCt利用初始条件得:,01xC故所求特解:00cossinvxxttkA0x0v方程通解:02vC2200020,tanvxAxv例3.求无阻尼自由振荡的微分方程的通解.29小结:求二阶常系数齐次线性微分方程),(0为常数qpyqypy20,pq特征方程:1212xxyCeCe实根112()xyCCxe)sincos(21xCxCeyx特征根通解30)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法(2)二阶常系数非齐次线性方程解法31)([xQex)()2(xQp])()(2xQqp)(xPemx一、型)()(xPexfmx为实数,)(xPm设特解为,)(*xQeyx其中为待定多项式,)(xQ])()([*xQxQeyx])()(2)([*2xQxQxQeyx代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为.)(*xQeymx为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式32(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,,02p)(xQ则是m次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2小结对方程①,)2,1,0()(*kexQxyxmk)(xQ)(xPm)()(2xQqp即即当是特征方程的k重根时,可设特解33例5.的一特解.求求的通解.例6.的一特解.例7.求求解方程例9.例8.求解方程求解方程例10.34补例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得31,110bb于是所求特解为0,035补例2.的通解.解:本题特征方程为,0652rr其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数,得1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy代入方程得xbbxb01022所求通解为.)(2221xexx,236补例3.求解定解问题0)0()0()0(123yyyyyy解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故21322CC故对应齐次方程通解为1CYxeC2xeC23原方程通解为1CyxeC2xeC23由初始条件得,037于是所求解为xeeyxx2141432解得41143321CCC38若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:(3)n阶常系数线性微分方程)(1)1(1)(xfyPyPyPynnn