第三章 直梁的弯曲

向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程第三章直梁的弯曲第一节梁的弯曲实例与概念向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程受力特点：力偶或垂直于轴线的外力作用在一个通过轴线平面内。变形特点：杆件的轴线（力偶或横向力）由直线变为曲线。弯曲变形梁平面弯曲把以弯曲为主要变形的杆称为梁。载荷作用在同一平面，并使梁的轴线在该平面内弯曲时称为平面弯曲。向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程工程中的梁横截面一般都是对称的。平面弯曲外载荷作用在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线——挠曲线。PPP纵向对称面挠曲线向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程悬臂梁外伸梁简支梁一、梁的计算简图:二、载荷的形式:qlPRARB2l2lABC2aaqP=qaABDRARB集中力集中力偶分布力ABCqPM梁的支座和载荷的简化向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程第二节梁横截面上的内力—剪力和弯矩一、截面法求内力—剪力Q和弯矩M0FmA0aPlRBlaPRB即lalPRA向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程ARQ1剪力：11xRMA弯矩（内力偶矩）：PRQA2axPxRMA222向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程二、内力符号规定：剪力符号:-Q+Q弯矩符号:+M-M+Q－Q+M-M剪力—截面一侧所有竖向分力的代数和;弯矩—截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程三、梁内力的简便求法——“外力简化法”剪力——截面一侧所有竖向分力的代数和；“左上右下为正”弯矩——截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和；“左顺右逆为正”1Q1MARx1P1ao11PRQA)(111axPxRMABR1Q1M2Pxloxa2BRPQ21)()(221xaPxlRMB+Q+M向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程例题：简支梁，求1-1，2-2截面上的内力ARBRm1m1m2Am5.1m311228PkN2qkNmB（1）求支反力RA、RB0,AM4223810BR5BRkN0yFRA–8–22+RB=0RA=7kN（2）求内力m1kNP8m5.1AR1Q1MQ1=RA–8；Q1=–1kNM1=RA1.5–80.5；M1=6.5kN.m向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程2Q2Mm1m1kNP8mkNq2Am3ARm12Q2MmkNq2Bm1BRKNRQB3122mKNRMB45.01212mKNMqPRMA41223222KNQqPRQA3122ARBRm1m1m2Am5.1m311228PkN2qkNmB亦可取2-2截面的右侧研究向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程练习题练习题：试求1-1，2-2截面的弯曲内力。q=10kN/mRA=1.33kNRB=2.67kN2002002001122答案:1-1截面Q1=1.33kNM1=266N.m2-2截面Q2=0.67kNM2=322N.m向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程步骤：(1)求支反力(2)列剪力、弯矩方程描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化规律的方程．一、剪力方程Q(x)和弯矩方程M(x)：10AYQRP10()AmMRxPxaQM1PARxARBRyxmm1P2PiPnPABa0()0()0yFmAmB例如在m-m截面，画出正号内力，列出平衡方程)()(xMMxQQ第三节弯矩方程与弯矩图二、内力图—剪力图和弯矩图向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程写剪力方程和弯矩方程的要点：（1）分段表示，规则为：（2）区间表示，规则为：剪力方程：在集中力(包括约束反力)作用点、分布载荷的起点和终点处，要分段表示。弯矩方程：在集中力(包括约束反力)作用点、集中力偶(包括约束反力偶)作用点、分布载荷的起点和终点处，要分段表示。剪力：在集中力作用点要用开区间表示，在分布载荷的起点和终点处要用闭区间表示。弯矩：在集中力偶作用点要用开区间表示，其它点处要用闭区间表示。向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程例3-1简支梁受集度为q的均布荷载作用，画出此梁的剪力图和弯矩图。qlRRBA21222)(2)(2qxxqlxqxxRxMqxqlqxRxQAA2max81qlM向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程例3-2简支梁在C点处受集中荷载P作用，画出此梁的剪力图和弯矩图。lPbRlPaRAB)0()()0()(111111axxlPbxRxMaxlPbRxQAA)()()()()()(22222222lxaAxPxlPbaxPxRxMlxaPlaPRxQAA向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程例3-3简支梁在C处受一集中力偶mC的作用，画出剪力图和弯矩图。lmRRCBA)0()()0()(111111axxlmxRxMaxlmRxQCACA)()()()(222222lxamxlmmxRxMlxalmRxQCCCACA向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：弯矩斜率：若梁上某段有均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。2dMxqLqxQxdx,dQxqdx22dMxqdx向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：弯矩斜率：若梁上某段有集中力，则集中力作用处，剪力图有突变，突变值即为该处集中力的大小，弯矩图此处有折角。向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：弯矩斜率：若梁上无均布荷载，剪力图为一平行于x轴水平线。集中力偶作用处剪力图无变化，弯矩图出现突变，突变的绝对值等于集中力偶的数值。向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程归纳)x(qdx)x(dQ①Q图曲线的切线斜率为q(x))x(Qdx)x(dM②M图曲线的切线斜率为Q(x))x(qdx)x(Md22③M图曲线的凹凸向与q(x)符号有关向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程1、q(x)=0：一段梁上无均布荷载，剪力图为一平行于x轴水平线，弯矩图为一斜直线；2、q(x)=常数：一段梁上有均布荷载，剪力图为一斜直线，弯矩图为一条二次曲线，当均布荷载q(x)向下时，弯矩图凸向上，当均布荷载向上时，曲线凸向下；3、弯矩的极值：若梁的某一截面上的剪力Q(x)=0，则该截面的弯矩为一极值；4、集中力作用处：此处剪力图有突变，突变方向与集中力方向一致，突变绝对值等于集中力数值，弯矩图上形成尖角；5、集中力偶作用处：此处剪力图无变化，弯矩图出现突变，突变的绝对值等于集中力偶的数值。内力图的一些规律:向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程例3-4．外伸梁上均布荷载的集度为q=3kN/m,集中力偶矩m=3kN.m,画出剪力图和弯矩图。kNRkNRBA5.35.140aqRQAmqRaA83.4mkNqaaRMA04.621)2(2max向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程作业：P94第14题第17题(e)(h)画剪力图和弯矩图向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程第四节弯曲时横截面上的正应力及其分布规律一、纯弯曲的变形特征向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程中性层现象：①mm,nn变形后仍为直线。②bb伸长，aa缩短；推断：①同层纤维变形相等(平面假设)；②中性层没有变形。变形后(小变形)m’m’MMn’a’b’n’a’b’o’o’nmxamnabb变形前ooyz中性轴z二、中性层的概念及性质:中性层中性轴向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程三、横截面上的正应力变形几何条件yLy物理条件：弹性范围内Eymaxmaxyymaxmaxyy向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程静力平衡：AAAdAyydAyyydAyM2maxmaxmaxmax向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程AdAyyM2maxmax横截面对中性轴z的惯性矩，单位为m4AzdAyJ2令：ZJyMmaxmaxZJyMmaxmaxZZWyJmax令：WZ称为抗弯截面模量，单位为m3。梁纯弯曲时横截面上的最大正应力的公式为：ZWMmax向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程四、横力弯曲以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于横力弯曲的情形，如果是细长杆，也是近似适用。理论与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截面在变形之后将不再保持平面，而是要发生翘曲，此时平面假设和各纵向纤维不互相挤压不成立。而对于细长梁，这种翘曲对正应力的影响是很小的。通常都可以忽略不计。均布载荷作用下的矩形截面简支梁，L/h5时，按纯弯曲正应力计算，误差1%。ZWMmax向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程第五节梁弯曲时的强度条件利用强度条件，可对梁进行强度校核、选择截面尺寸及确定许可荷载。ZWMmaxmax向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程例3-5容器四个耳座支架在四根各长2.4m的工字钢梁的中点上，工字钢再由四根混凝土柱支持。容器包括物料重110kN，工字钢为16号型钢，钢材弯曲许用应力[]=120MPa，试校核工字钢的强度。向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程kNP5.274110最大弯矩在梁的中间，为：mkNLPM.6.164.25.274141max由型钢表查得16号工字钢的Wz=141cm3MPaMPaWMZ12086.11710141105.1663maxmax向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程例3-6：选择工字钢型号。已知：MPa][mlkNP,kNP1706211521P2P1l/3l/3l/338M图(kN·m)（1）画弯矩图，确定maxM（2）计算Wz解：)cm()m(.MWmaxz333-63223102230101701038][19kN17kN（3）查表：3237cmWz计算值如果:Wz小于计算值，验算max，不超过[]的5%，工程上允许。选20a,向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程作业：P95第20题，第22题向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程一、支撑和荷载的合理布置1.支撑的合理布置第六节提高梁弯曲强度的措施ZWMmaxmax向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程2.载荷的合理布置向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程二、选择合理的截面形状ZWMmaxmaxhAbhWz61621bAhbWz61622向下向上末页首页调音返回结束《化工设备机械基础》教程材料远离中性轴AWZ矩形0.167h；圆形0.125h；环形0.205h工字钢和槽钢(0.27～0.31)h向下向上末页首